La métrica estándar en $RP^n$ suele definirse como la métrica que localmente se parece a la métrica en $S^n$ . Pero como colector diferenciable (y no sólo como conjunto), $RP^n$ no es un subconjunto de $S^n$ es un cociente. Por lo tanto, no hay un mapa natural $RP^n\to S^n$ sino un mapa $S^n\to RP^n$ .
La métrica estándar en $RP^n$ sería entonces una especie de "métrica de avance", pero no existe tal cosa, las métricas sólo pueden retroceder naturalmente.
¿Qué me falta?
La cuestión es que la métrica en $S^n$ es invariante bajo la acción del grupo $\mathbb{Z}_2$ para que pueda ser empujado hasta el cociente. Más explícitamente, supongamos que dotamos $S^n$ con una métrica redonda estándar y que $\pi \colon S^n \rightarrow \mathbb{RP}^n$ sea el mapa cociente. Para $p \in S^n$ denotamos $\pi(p)$ por $[p]$ . Sea $A \colon S^n \rightarrow S^n$ sea el mapa antipodal. Entonces $A$ es una isometría de $S^n$ y tenemos $\pi \circ A = \pi$ .
La métrica en $\mathbb{RP}^n$ se define como
$$ \left< v, w \right>_{[p]} := \left< \left( d\pi|_p \right)^{-1}(v), \left( d\pi|_p \right)^{-1}(w) \right>_p. $$
Esto está bien definido porque tenemos
$$ \left< \left( d\pi|_p \right)^{-1}(v), \left( d\pi|_p \right)^{-1}(w) \right>_p = \left< \left( d \left( \pi \circ A \right)|_p \right)^{-1}(v), \left( d \left( \pi \circ A \right)|_p \right)^{-1}(w) \right>_p = \left< \left( dA|_{p} \right)^{-1} \left( \left( d \pi|_{-p} \right)^{-1}(v) \right), \left( dA|_{p} \right)^{-1} \left( \left( d \pi|_{-p} \right)^{-1}(v) \right) \right>_p \\ = \left< \left( d\pi|_{-p} \right)^{-1}(v), \left( d\pi|_{-p} \right)^{-1}(w) \right>_{-p} $$
donde utilizamos el hecho de que $dA|_p$ es una isometría.
De forma más general, supongamos que tenemos alguna variedad riemanniana $(M,g)$ con un grupo de Lie $G$ actuando sobre $M$ de forma suave, libre y adecuada mediante isometrías. Entonces el cociente $M / G$ es una variedad y tiene una métrica riemanniana definida de forma natural y única que convierte el mapa $\pi \colon M \rightarrow M / G$ en una inmersión riemanniana. Si $G$ es de dimensión cero, como en su caso, el mapa $\pi$ es una isometría local.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
1 votos
No estoy seguro de si se hace así, pero ten en cuenta que el cociente $S^n \to RP^n$ es un difeomorfismo local. Así que lo que se puede hacer es para $x,y \in T_pRP^n$ definir $(x,y)_p= (x_1,y_1)_{p_1} + (x_2,y_2)_{p_2}$ con $\{p_1, p_2\}$ la preimagen de $p$ y los vectores $x_i,y_i$ las preimágenes únicas de $x,y$ en $T_{p_i}S^n$ .
0 votos
@s. arpa, nota que $p_1$ y $p_2$ tiene el mismo espacio tangente (considere $S^n$ para que se incrusten en $\mathbb{R}^n$ ). Así que no es necesario tomar la suma de los dos.
0 votos
Relacionados: math.stackexchange.com/q/134836/173147