Algunas ecuaciones del libro matemáticas ruso.

Question

Por favor me podrias ayudar con la solución de estas ecuaciones. Me gustaría resolver de la manera más disimulada. Todos los ejercicios en este libro pueden resolverse de alguna manera inteligente, que a menudo no puedo encontrar.

$$ \frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)} = \frac{6}{(x+1)(x+2) $$ $$ 1} + \frac{8}{(x-1)(x+4)} = \sqrt[7 $$ $$ 1] {(ax-b) ^ {3}}-\sqrt[7] {(b-ax) ^ {3}} = \frac{65}{8}; un \neq 0 $$

Answer 1

1) $\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}=1\implies\frac{(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)}{(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)}=1$

$\implies(x^2-5x+4)(x^2-5x+6)=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)$

Sabemos que la indexado términos se anulan debido a que el lado izquierdo es sólo el RHS con $x\to-x$

$\implies-10x^3-50x=10x^3+50x\implies10x^3+50x=0\implies10x(x^2+5)=0\implies x=0$

2) tenga en cuenta que los denominadores de estas puede ser escrito como $u+2,u-4$$u=x^2+3x$. Podemos ver:

$\frac{6}{u+2}+\frac{8}{u-4}=1\implies\frac{6}{u+2}-3+\frac{8}{u-4}+2=1-3+2\implies\frac{-3u}{u+2}+\frac{2u}{u-4}=0$

Eliminar un factor de $u$ y acepte $u=0$ como una solución. A continuación, borrar las fracciones:

$\frac{-3}{u+2}+\frac{2}{u-4}=0\implies-3(u-4)+2(u+2)=0\implies16-u=0\implies u=16$

Por eso, $x^2+3x=0, 16$ - extraemos $x=0,-3$ $u=0$ y resolver el $u=16$ caso con la fórmula cuadrática / el método de elección.

3) Deje $(ax-b)^{3/7}=u$,$u-(-u)=65/8\implies u=65/16$. Nada más que ir como $a,b$ no se da - se puede decir $x=(65/16+b)/a$ si le gustaría, supongo.

Quizás vale la pena señalar que $\frac{65}{8}=8+\frac{1}{8}$, en un aparte.

Answer 2

Para el primero de ellos, considerar la ecuación de $$\frac{f(x)}{g(x)}=1$ $ sin embargo $$f(-x)\equiv g(x)$ $

Por lo tanto $f$ y $g$ son reflejos uno del otro en el eje de $y$.

No tiene simetría en el eje de $y$ y tampoco tienen raíces de la forma $x=\pm a$, por lo que la única intersección está en el eje de $y$, $x=0$ es la única solución.

Answer 3

La primera ecuación implica que el producto de las distancias desde $x$ $-1, -2, -3, -4$es el mismo que el producto de las distancias desde $x$$1, 2, 3, 4$. (Esta condición es equivalente al cociente que aparece en la ecuación ser $\pm 1$.) Si $x > 0$, el último distancias son más pequeñas que la de los antiguos, de modo que el último producto es menor. Si $x < 0$, entonces la primera es. Así que la única posibilidad es $x = 0$.

En la segunda ecuación, hacer la sustitución $u = x^2 + 3x$.

Para el tercero, que casi estaban allí con lo que usted escribió en los comentarios. Pero recuerde que $\sqrt[7]{-A} = - \sqrt[7]{A}$. Consigue $(ax - b)^{3/7} = 65/16$. Elevar ambos lados de la ecuación para la potencia de $7/3$.

Editar La tercera ecuación tiene una errata en ella. Se suponía que iba a leer $$\sqrt[7]{ (ax-b)^{3}} - \sqrt[7]{ (b-ax)^{-3} } = \frac{65}{8}.$$ En este caso, Escribir $u = (ax-b)^{3/7}$. Entonces la ecuación se convierte en $u + 1/u = 65/8$. Ya que después de eliminar denominadores esto se convierte en una ecuación de segundo grado, hay dos posibilidades para $u$. Desde $u = 8$ $u = 1/8$ trabajo, estos deben ser los únicos. Llegamos $ax - b \in \{128, 1/128\}$, después de lo cual es fácil de resolver para $x$.

Answer 4

Primera pregunta:

Que $y=(x-2)(x-3)$. Por lo tanto es equivalente a

$$\frac{y(y-2)}{(y+10x)(y+10x-2)}=1$$ $$y^2-2y=y^2+20xy+100x^2-2y-20x=0$$ $$20x=100x^2+20xy$$

For $x\neq 0$, $$1=5x+(x-2)(x-3)$$ $$x^2=-5$$ $$x=\pm\sqrt{5} i$$

% Si no $x=0$.

Answer 5

¿descomposición en factores la izquierda menos la derecha obtenemos %#% $ de #% puede usted seguir desde aquí? hacer lo mismo con la segunda ecuación obtenemos $$-\frac{20 x \left(x^2+5\right)}{(x+1) (x+2) (x+3) (x+4)}=0$ $