Desigualdad de la traza básica

Question

Supongamos que $A$ y $B$ son uno mismo-adjoint matrices. Por qué es cierto que

$$Tr(A^2) \le Tr(Ae^{-tB}Ae^{tB})$$

¿$t\in\mathbb R$, donde $e^x$ denota la matriz exponencial?

Answer 1

Deje $X,Y,Z$ ser matrices cuadradas del mismo tamaño. Indicar el colector $[X,Y]=XY-YX$. Tenga en cuenta que$\mathrm{Tr}[X,Y]=0$$\mathrm{Tr}(X[Y,Z])=-\mathrm{Tr}([X,Z]Y)$. En particular, $\mathrm{Tr}(X[X,Y])=0$.

Vamos $A_0=A$, $A_n=[A_{n-1},B]$ para cada una de las $n\ge 1$. Deje $f(t)=\mathrm{Tr}(Ae^{-tB}Ae^{tB})$, que es una analítica de la función de $t$ con inifite radio de convergencia. Por inducción, es fácil ver que $f^{(n)}(t)=\mathrm{Tr}(Ae^{-tB}A_ne^{tB})$. En particular, $f^{(n)}(0)=\mathrm{Tr}(AA_n)$, por lo que $$f(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{\mathrm{Tr}(AA_n)}{n!}t^n.$$

Deje $a_{ij}=\mathrm{Tr}(A_iA_j)$$i,j\ge 0$. Entonces $$a_{i,j+1}=\mathrm{Tr}(A_i[A_j,B])=-\mathrm{Tr}([A_i,B]A_j)=-a_{i+1,j}.$$ En particular, $$a_{0,2n}=(-1)^na_{n,n}=(-1)^n\mathrm{Tr}(A_n^2),$$ y
$$a_{0,2n+1}=(-1)^na_{n,n+1}=(-1)^n\mathrm{Tr}(A_n[A_n,B])=0.$$

Dado que tanto $A$ $B$ son auto-adjunto, por inducción, es fácil ver que $A_n$ es auto-adjunto al $n$ es aún, y es anti-uno mismo-adjoint al $n$ es impar. Por lo tanto, Los autovalores de a $A_n$ son reales cuando $n$ es uniforme y se $0$ o imaginario puro al $n$ es impar. De ello se desprende que $a_{0,2n}\ge 0$ por cada $n$.

Por lo tanto, en la expansión de Taylor de $f(t)$, los coeficientes de los términos impares son cero, pero los coeficientes de los términos son no negativos. Como resultado, la conclusión se deduce de $f(t)\ge f(0)$.