Raíz cuadrada y suma de números Impares

Question

He encontrado esto en internet como una curiosidad matemática muy interesante...

Si tenemos $x\in \mathbb{N}$ dicen que si $x=\sum^{K}_{n=0}{(2n+1)}$ entonces $\sqrt{x}\in \mathbb{N}$ y $\sqrt{x}=K+1$ .

¿Siempre es así? ¿Por qué?

¡Esta es mi primera pregunta aquí! Gracias de antemano y lo siento por cualquier error.

Answer 1

Pista, mira la secuencia de cuadrados:

$0, 1, 4, 9, 16, 25$

Entonces, fíjate en las diferencias:

$1, 3, 5, 7, 9$

Formalmente, $(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ . ¿Ilumina esto el problema?

Answer 2

¡Ese es mi dato favorito!

Considera esto.

Es cierto que $1=1^2$

Y es cierto que $1+3=2^2$ y que $1+3+5=3^2$

Supongamos que fuera cierto que $1+3+5+.....+(2n-1)=n^2$ .

Entonces $1+3+5+.....+(2n-1)+(2n+1)=$

$n^2+(2n+1)= $

$n+2n+1=(n+1)^2$ .

Así que si es cierto para algunos es cierto para los siguientes.

También.

Considera:

$N= 1+2+......+n $

Entonces $2N=N+N=$

$1+2+......+n+$

$n+......+2+1=$

$(n+1)+(n+1)+..... +(n+1) =$

$n (n+1) $

Así que $N=n (n+1)/2$

Así que $\sum (2k-1)=2\sum k -\sum 1$

$=2*\frac {n (n+1)}2-n$

$=n (n+1) - n=n^2+n-n=n^2$ .

Me encanta.

Answer 3

Pista: la suma de una progresión aritmética de $N$ términos es $N$ veces la media de los términos primero y último. En este caso: $\;x = (K+1) \cdot \cfrac{1 + (2K+1)}{2}\;$ .