Que $f$ es una función analítica no constante en $\mathbb{D}$satisfacción $|f(z^2)| ≤ |f(z)|$ $|z| < 1.$

Question

Que $f$ es una función analítica no constante en $\mathbb{D}$satisfacción $|f(z^2)| ≤ |f(z)|$ $|z| < 1.$

$(a)$ Mostrar que $f(0) = 0.$

$(b)$ Mostrar que $f(z)\neq 0$ $0<|z|<1.$

$(c)$ Mostrar que $f(z) = az^n,$ donde $a ∈ \mathbb{C},n ∈ N.$

Sé cómo hacer $(b)$ pero no estoy seguro de cómo hacer las otras dos partes. Alguna ayuda sería gran gracias.

Answer 1

Menos sobre la economía, y más acerca de la claridad:

Parte (c)

De la parte (a), $f(z)$ tiene un cero de orden $n$$z = 0$, así que usted puede factor de $f(z) = z^n g(z)$ donde $g(z)$ es analítica en el disco y $g(0) \ne 0$.
De la parte (b), $g(z)$ nunca $0$$\mathbb{D}$.
Tenga en cuenta que $g(z) = z^{-n}f(z)$. Estoy Deje $h(z)$ ser la analítica de la función $\frac{g(z^2)}{g(z)}$ y el aviso de que

$$ |h(z)| =\Bigg| \frac{g(z^2)}{g(z)} \Bigg| = \Bigg| \frac{z^{-2n} f(z^2)}{z^{-n} f(z)} \Bigg| = \frac{1}{|z^n|} \Bigg| \frac{f(z^2)}{f(z)} \Bigg| \le \frac{1}{|z^n|} $$ En un disco $|z| \le r < 1$, $|h(z)|$ alcanza su máximo en algún lugar de $|z| = r$.
Por lo $h(z) \le 1/r^n$.
Como en la prueba del Lema de Schwarz, vamos a $r \to 1$ a ver que $|h(z)| \le 1$ si $|z| < 1$.
Ahora sabemos $|g(z^2)| \le |g(z)|$$\mathbb{D}$. Desde $g$ nunca $0$$\mathbb{D}$, se puede aplicar el Mínimo Módulo de principio a la conclusión de que la $g(z)$ es constante.
Detalles: $|g|$ alcanza un valor mínimo en $|z| \le r$ algunos $z_0$$|z_0| = r$, pero ahora $z_0 ^2$ es un punto interior de a $|z| \le r$ cuando el módulo no es más que el módulo al $z_0$.

Por lo $f(z) = a z^n$.

Una manera más fácil de hacer parte a)

Si $f(0) \ne 0$ entonces, por la continuidad que hay un pequeño disco cerrado de radio $r \le 1$ que $f$ no $0$.
Por el valor Mínimo del Módulo de principio a $|f(z)|$ alcanza su mínimo en el disco más pequeño en algún $z_0$$|z_0| = r$. Pero ahora $z_0^2$ es un punto interior de este disco con $|f(z_0^2)| \le |f(z_0)|$ $f$ es constante, una contradicción.