Cálculo de la integral dada

Question

Definir $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ por $$f(x)=\begin{cases}1& \text{ $$ x es algebraico}\\0 &\text{en caso contrario}\end{casos}$$

La cuestión es saber de $\int_0^1 f(x) dx$.

Yo:

Tomar una partición $P=\Bigl\{0=\frac{0}{n},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\frac{3}{n},...,\frac{n}{n}=1\Bigr\}$$[0,1]$.

Ya que cada transcentendal número es irracional e irracionales son densos, por lo que el mínimo de cada subinterval es $0$. Por lo tanto $L(P,f)=0$.

Por otro lado, para el cálculo de $U(P,f)$, podemos ver que $\Delta x_i=\frac{1}{n}, \forall i.$. También el máximo en cada subinterval es $1$, lo $U(P,f)=\Sigma_1^n M_i \Delta x_i \neq 0$. De modo integral inferior y superior de la integral son diferentes.

Pero la respuesta fue $\int_0^1 f(x) dx=0$.

Donde estoy haciendo mal?

Cualquier ayuda será apreciada!

Answer 1

No existe la integral de Riemann, bien manchado. El integral de Lebesgue es 0, ya que el integrando es 0 casi por todas partes (salvo argumentos algebraicos, pero que es un sistema contable que tiene medida de Lebesgue 0).