La respuesta completa:
- Si $a_1 \cdot a_2 \ne 0$, e $a_1$ $a_2$ son linealmente independientes, entonces sólo hay una solución si $(a_1 \times a_2) \cdot (w_2 - w_1) = 0$. En ese caso la solución está dada por
$$ w_3 = \frac{b_1 \cdot w_2}{1 - (a_1 \cdot a_2)^2}a_1 + \frac{b_2 \cdot w_1}{1 - (a_1 \cdot a_2)^2}a_2 + k (a_1 \times a_2), $$
donde$b_1 = a_1 - (a_1 \cdot a_2) a_2$$b_2 = a_2 - (a_1 \cdot a_2) a_1$, y de nuevo $k$ es un número arbitrario.
- Si $a_1 \cdot a_2 = 0$, entonces siempre hay una solución; es dada por
$$ w_3 = (a_1 \cdot w_2)a_1 + (a_2 \cdot w_1)a_2 + k (a_1 \times a_2), $$
donde $k$ es un número arbitrario.
- Si $a_1$ $a_2$ son linealmente dependientes, es decir, $a_2$ es un múltiplo de a $a_1$, entonces sólo hay una solución si $w_2 - w_1$ es también un múltiplo de $a_1$. En este caso, $w_3$ es arbitrario, porque
$\frac{d}{dt} (a_1 \times a_2) = 0$.
Tenga en cuenta que existe una solución única si $a_3 \cdot \frac{d}{dt}a_3 = (a_1 \cdot a_2)(a_1 \times a_2) \cdot (w_2 - w_1) = 0$. También, si $w_1 = w_2$, $w_3 = w_1$ es siempre una solución.
Prueba. Supongamos $\frac{d}{dt}(a_1 \times a_2) = (a_1 \times a_2) \times w_3$. Utilizando el vector de identidad de $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b) c$, podemos encontrar que
\begin{align}
0&=\frac{d}{dt}(a_1 \times a_2) - (a_1 \times a_2) \times w_3 \\
&= (a_1 \times w_1) \times a_2 + a_1 \times (a_2 \times w_2) - (a_1 \times a_2) \times w_3 \\
&= (a_1 \cdot a_2)(w_2 - w_1) + (a_1 \cdot (w_3 - w_2)) a_2 - (a_2 \cdot (w_3 - w_1)) a_1. \tag{1}
\end{align}
Caso 1: $a_1$ $a_2$ son linealmente independientes. A continuación,$(a_1 \cdot a_2)^2 < 1$.
Desde $\{a_1,a_2,a_1 \times a_2\}$ es una base de $\mathbb{R}^3$, cualquier solución toma la forma
$$w_3 = k_1 a_1 + k_2 a_2 + k_3 (a_1 \times a_2). \tag{2}$$
Por que salpican $(1)$ con $a_1$, $a_2$, y $a_1 \times a_2$, respectivamente, obtenemos tres ecuaciones
\begin{align}
0 &= b_1 \cdot (w_3 - w_2), \tag{3} \\
0 &= b_2 \cdot (w_3 - w_1), \tag{%#%#%} \\
0 &= (a_1 \cdot a_2)(a_1 \times a_2) \cdot (w_2 - w_1), \tag{%#%#%} \\
\end{align}
donde$3'$$3''$. Debido a $b_1 = a_1 - (a_1 \cdot a_2) a_2$ es una base de $b_2 = a_2 - (a_1 \cdot a_2) a_1$, estas ecuaciones son equivalentes a $\{a_1,a_2,a_1\times a_2\}$.
Tenga en cuenta que si $\mathbb{R}^3$, $(1)$ implica que el $a_1 \cdot a_2 \ne 0$. Eso significa que si $(3'')$, $(a_1 \times a_2) \cdot (w_2 - w_1) = 0$ debe estar en el mismo plano; de lo contrario, no hay ninguna solución.
Observar que
\begin{align}
b_1 \cdot a_1 = b_2 \cdot a_2 &= 1 - (a_1 \cdot a_2)^2, \\
b_1 \cdot a_2 = b_2 \cdot a_1 &= 0.
\end{align}
Luego de conectar $a_1 \cdot a_2 \ne 0$ a $a_1,a_2,w_2-w_1$ da
\begin{align}
k_1 = \frac{b_1 \cdot w_2}{1 - (a_1 \cdot a_2)^2}, \\
k_2 = \frac{b_2 \cdot w_1}{1 - (a_1 \cdot a_2)^2},
\end{align}
de modo que la solución general es
$(2)$$
donde $(3),(3')$ es arbitrario. Si $$ w_3 = \frac{b_1 \cdot w_2}{1 - (a_1 \cdot a_2)^2}a_1 + \frac{b_2 \cdot w_1}{1 - (a_1 \cdot a_2)^2}a_2 + k_3 (a_1 \times a_2), $, esto se simplifica a
$k_3$$
Caso 2: $a_1 \cdot a_2 = 0$ $$ w_3 = (a_1 \cdot w_2)a_1 + (a_2 \cdot w_1)a_2 + k_3 (a_1 \times a_2). $ son linealmente dependientes. Por lo tanto $a_1$$a_2$. A continuación, $a_1 = \epsilon a_2$ reduce a
$\epsilon = \pm 1$$
lo que implica que $(1)$ también debe ser un múltiplo de $$0 = (w_2 - w_1) - (a_1 \cdot(w_2 - w_1))a_1,$.
Si $w_2 - w_1$ no es un múltiplo de a $a_1$, entonces no hay solución.
Tenga en cuenta que $w_2 - w_1$ ya no aparece en esta ecuación. Eso significa que cualquier $a_1$ obras. ¿Cómo puede ser esto? Bien, en este caso tenemos a $w_3$, lo $w_3$, por lo que el particular valor de $a_1 \times a_2 = 0$ es irrelevante.
