¿Son números lo suficientemente grandes la suma de dos miembros de un conjunto denso, bien distribuido?

Question

Tengo un set $S$ de los enteros positivos, y como para demostrar que todo lo suficientemente grande como $n$ son de la forma $s+t$ $s,t\in S.$ (En otras palabras, $\mathbb{N} \setminus (S+S)$ es finito, donde $+$ es el sumset.) ¿Qué técnicas puedo utilizar para resolver este tipo de problema?

Mi ejemplo particular parece simple, porque no sólo es $S$ es densa $$ \liminf_n\frac{\#\left(S\cap\{1,2,\ldots,n\}\right)}{n}>0 $$ pero tiene otra extensión de la propiedad (no sé el nombre de esta): para cada clase de residuo $a\pmod b$, $$ \liminf_n\frac{\#\left(S\cap\{a,a+b,a+2b,\ldots,a+nb\}\right)}{a+nb}>0. $$ Es esta propiedad suficiente? Dado un conjunto $S$, puede razonables obligado a estar dado por el mayor entero no en $S+S$?

Si la prueba es fácil, yo estaría feliz por sólo sugerencias (es bueno probar cosas que para mí!). De lo contrario, yo sería feliz con una referencia.

Answer 1

Las dos condiciones que son insuficientes. Si $\alpha$ es irracional y $\{x\}$ denota la parte fraccionaria del número real $x$, el conjunto de $A:=\{n \in \mathbb N: \{n\alpha\} \in (0,1/4)\}$ tiene $\lim_{n\to \infty} \frac{|A\cap \{a+b,\dots, a+bn\}|}{n}= 1/4$ por cada $a, b\in \mathbb N$, $A+A$ no es cofinite. De hecho, $A+A$ se encuentra en $\{n\in \mathbb N: \{n\alpha\} \in (0,1/2)\}$, que tiene densidad asintótica $1/2$.