¿Cómo determinar una variable tal que una expresión se puede simplificar?

Question

Tengo esta pregunta en la universidad y estoy seguro de cómo se enfoque. La determinación de la variable tal que la siguiente expresión se puede simplificar:

$\frac{x^2-4x + a}{x-7}$

Normalmente con estos problemas, soy capaz de factor fuera algo del denominador, pero que no es posible aquí. En cambio, en el numerador, traté de sólo escribir $x^2+4x$ como $x(x+4)$, pero no estoy seguro de dónde ir desde aquí. Si $a$$4$, podría escribir $x^2+4x+a$$(x-2)^2$, pero el problema es que se supone que debo encontrar. ¿Alguien tiene alguna idea de cómo puedo proceder en la búsqueda de un tal que la expresión se puede simplificar?

Answer 1

Usted quiere ser capaz de decírnoslo $x^2-4x+a$ $(x+b)(x-7)$. Es decir, $$x^2+\bbox[lightgreen]{(b-7)}~x\bbox[gold]{-7b} = x^2\bbox[lightgreen]{-4}~x+\bbox[gold,2pt]{a}

So...

Answer 2

Quieres ver si $x^2-4x+a$ es divisible por $x-7$, que sólo ocurre si y sólo si tiene un $f(x)=x^2-4x+a$ $7$ como raíz. Desde $$f (7) = 49-28 + a = a + 21$$ tienes $f(7)=0$ si y sólo si...

Answer 3

$$\frac{x^2-4x+a}{x-7}=\frac{(x-7)^2+10(x-7)+21+a}{x-7}$$

para simplificarlo, el $21+a$ debe ser cero, así que el valor de $a$ $$a=-21

Answer 4

$$y=\frac{x^2-4x+a}{x-7}$$

$$x^2-4x+a=x(x-7)+3(x-7)+(a+21)\frac{x-7}{x-7}$$

$$y=x+3+\frac{a+21}{x-7}$$

Estoy en mi teléfono, así que no puedo ver los errores en álgebra fácilmente, así que quisiera saber si me he explicado algo mal

El truco es multiplicar el denominador de las dos polinomio, $(x-7)$, por lo que necesita para obtener el primer término del numerador $x^2$. Claramente necesitamos el poder por uno por lo multiplicamos por $x$ conseguir $x\cdot(x-7)$. Ahora bien, si ampliamos que tendríamos $x^2-7x$ pero sabemos que nuestro coeficiente de $x$ tiene que ser $-4$. Así que añadimos $3(x-7)$, y seguirá así hasta que la hemos hecho todos los términos del polinomio en la parte superior. Voila.

Si todavía estás un poco confundido, buscar división de polinomios, hay muchas mejores explicaciones.

Answer 5

usando la división larga

el resto debe ser cero.

por lo tanto, $$a=-21