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Question

$$\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]\frac{(2n)!}{n^n\times{n!}}}$$

Es una secuencia y n es natural

Parece que debo utilizar $\lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{a_n}}=x$ pero no sé cómo. Significa que el $a_n=\frac{(2n)!}{n^n\times{n!}}$ y luego hacerlo desde allí o es $a_n=\sqrt[n]\frac{(2n)!}{n^n\times{n!}}$

Nunca he usado esto antes y no sé qué hacer

Answer 1

Que $a_n = \dfrac{(2n)!}{n^n{n!}}$. Entonces $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]{a_n}} = \lim_{n\to \infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n} $ si este límite existe.

Ahora $ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(2(n+1))!} {(n+1)^{n+1}{(n+1)!}} \ \dfrac{n^n{n!}} {(2n)!} = \dfrac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)(n+1)} \ \left (\dfrac {n} {n+1} \right) ^ n \to \dfrac{4}{e} $$

Answer 2

Desde $\lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n} \aprox (n/e) $,

$\begin{array}\\ \lim_{n\to \infty}{\sqrt[n]\frac{(2n)!}{n^n\times{n!}}} &=\lim_{n\to \infty}{\frac{((2n)!)^{1/n}}{n(n!)^{1/n}}}\\ &\approx\frac{\lim_{n\to \infty}((2n)!)^{1/n)}}{n(n/e)}\\ &=\frac{\lim_{n\to \infty}(((2n)!)^{1/(2n)})^2}{n(n/e)}\\ &\approx\frac{(2n/e)^2}{n(n/e)}\\ &=\frac{4}{e} \end{array} $

Usted puede hacer que sea más general y el uso de $\lim_{n \to \infty} ((kn)!)^{1/n} =\lim_{n \to \infty} (((kn)!)^{1/(kn)})^k =(kn/e)^k $ para mostrar que $\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{(an)!}{n^{cn}(bn)!}}$ existe sólo cuando $a \le b+c$ y es cero cuando $a < b+c$ y es $\frac{a^a}{b^b}e^{b-a} $ cuando $a = b+c$. El OP es $a=2, b = 1, c=1$.

$\begin{array}\\ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{\frac{(an)!}{n^{cn}(bn)!}} &\approx\lim_{n\to \infty}\frac{(an/e)^a}{n^c(bn/e)^b}\\ &=\lim_{n\to \infty}\frac{a^a}{b^b}e^{b-a}n^{a-b-c}\\ \end{array} $

y este existe como se indica.

Nota: Si quieres hacer esto más riguroso, y el uso de $\frac{(n!)^{1/n}}{n} \approx \frac1{e} $, y del mismo modo el uso de $\frac{(kn)!^{1/n}}{n^k} =\frac{((kn)!^{1/(kn)})^k}{n^k} \approx\frac{(kn/e)^k}{n^k} =(k/e)^k $

usted puede escribir

$\begin{array}\\ \sqrt[n]{\frac{(an)!}{n^{cn}(bn)!}} &=\frac{\frac{((an)!)^{1/n}}{n^a}}{\frac{((bn)!)^{1/n}}{n^b}} \frac{n^a}{n^{c}n^b}\\ &\approx\frac{(a/e)^a}{(b/e)^b}n^{a-b-c}\\ &=\frac{a^a}{b^b}e^{b-a}n^{a-b-c}\\ \end{array} $

Answer 3

Sugerencia: Usar el segundo Teorema de límite de Cauchy.

Si $\displaystyle \lim_n\frac{a_{n+1}}{a_n}=l$, entonces el $\displaystyle \lim_na_n^{1/n}=l$. Donde, $\displaystyle a_n=\frac{(2n)!}{n^2.n!}$.