Un difícil integral exponencial de una variable

Question

Estoy tratando de elaborar una forma cerrada para la integral

\begin{equation} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{s(1-s)}} \exp\left(-\left(\frac{a}{s} + \frac{b}{1-s}\right) \right) \,ds \end{equation} donde $a,b>0$. He probado el susbtitution $\sigma = 1/s$ pero no llegaron muy lejos. También sospecho que se podría utilizar algún método de variable compleja. Mathematica no puede resolverlo, dice diverge (pero claramente no lo hace) y es incluso capaz de calcular numéricamente sin ningún problema cuando se dan los valores de $a$ y $b$.

Answer 1

Esta es una convolución entre dos inversa de Laplace transforma, que es simplemente la inversa de la transformada de Laplace del producto de la LTs. Para aclarar,

$$f_a(t) = t^{-1/2} e^{-a/t} \implies F_a(s) = \sqrt{\frac{\pi}{s}} e^{-2 \sqrt{a s}} $$

El teorema de convolución establece que

$$f_a(t) * f_b(t) = \int_0^t dt' f_a(t') f_b(t-t') = \frac1{i 2 \pi} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} ds \, F_a(s) F_b(s) e^{s t}$$

En este caso, la integral de convolución de arriba es

$$ \frac1{i 2 \pi} \pi \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} \frac{ds}{s} e^{-2 (\sqrt{a}+\sqrt{b}) \sqrt{s}} e^{s t} $$

Esta es una inversa LT derivados en esta respuesta. El resultado es, por $t=1$,

$$\int_0^1 dt' \frac1{\sqrt{t' (1-t')}} \exp{\left (-\frac{a}{t'} - \frac{b}{1-t'} \right )} = \pi \operatorname{erfc}{\left (\sqrt{a} + \sqrt{b} \right )} $$