¿Hay algo precedente al incremento en la "jerarquía" del operador?

Question

He aquí definir la jerarquía de los operadores matemáticos básicos y sus respectivas "inversa" de la operación (consulte hyperoperation).

$$ \begin{array}{c|c|c|} & \text{Operator} & \text{"Inverse"} \\ \hline \text{Incrementation} & a+1 & a-1 \\ \hline \text{Addition} & a+b & a-b \\ \hline \text{Multiplication} & ab & \frac{a}{b} \\ \hline \text{Exponentiation} & a^b & \sqrt[b]{a} \\ \hline \text{Tetration} & ^ba & \sqrt[b]{a}_s \\ \hline \text{} \vdots & \vdots & \vdots \\ \hline \end{array} $$

Ahora bien, es claro que cada "nivel" es simplemente la anterior, pero en el proceso se realiza varias veces. La adición de dos números enteros es igual que el incremento de uno entero muchas veces. La multiplicación es la suma de el mismo número varias veces.

Mi pregunta es: ¿hay algo que preceden el aumento?

Answer 1

Podemos notar que

$a^{S(n)}=mul_a(a^n)=a\times (a^n)$

$a \times S(n)=add_a(a\times n)=a+(a\times n)$

$a+S(n)=S(a+n)$

Aquí se rompe la secuencia, ya que sucesor no es una operación binaria. Pero podemos seguir encontrando una función$f$ que es el paso "$(-1)$ de la secuencia (si el sucesor es el paso$0$).

$S(S(n))=f(S(n))$ Que se convierte

$n+2=f(n+1)$ Y para$n=m-1$ obtenemos

$(m-1)+2=f(m)=m+1$

Así que$S(n)=f(n)$: " sucesor precede" al sucesor en la secuencia

Answer 2

Para ampliar MphLee la respuesta:

Sucesor también puede ser visto como una función binaria $H_0(a,b) = S(b)$. Entonces tenemos que $H_0(a, Sb) = H_{-1}(a,H_0(a,b)) = H_{-1}(a,Sb)$ $H_{-1}$ está de acuerdo con $H_0$ cuando el segundo argumento es mayor que $0$. Sin embargo, si nos detenemos allí, $H_{-1}(a,0)$ se puede especificar libremente.

Si seguimos más adelante, podemos mostrar que el$H_{-k}(a, b) = S(b)$$b \ge k$:

Si $b \ge k$,$SSb = H_{-k}(a, Sb) = H_{-k-1}(a, H_{-k}(a,b)) = H_{-k-1}(a, Sb)$.

Sin embargo, a continuación,$2 = H_{-1}(a, 1) = H_{-2}(a, H_{-1}(a,0))$, por lo que si $f(a) := H_{-1}(a,0) \ge 2$, obtenemos que $2 = f(a) + 1$, lo $f(a) = 1$, una contradicción. Por lo tanto, $f(a) \le 1$.

Si seguimos más se vuelve más complicado. Creo que si se extienden infinitamente, todos ellos tienen que ser sucesor, aunque no en un número finito de extensión.