Una respetable autor, David Gunderson, en su libro Manual de Inducción Matemática (MAA reseña del libro aquí, si te interesa), toca la pregunta que se formula:
Parece que no todas las declaraciones que se puede demostrar por inducción directo (usando solo deductivo de la lógica y la no inducción) las pruebas, a pesar de demostrar esta afirmación podría ser difícil! Es muy probable que hay de los enunciados matemáticos para el que sólo inductivo prueba es conocida. (p. 105)
Gunderson va a "cambiar el guión" y plantea una aún más interesantes y sorprendentes cuestión cuando escribe, "Este próximo ejercicio de hecho podría pedir más de lo que puede ser la respuesta, pero la pregunta en que podría hacer para una discusión interesante."
Ejercicio 31 (p. 105): ¿existe un matemático verdad que no tiene un (significativo) [sic] la prueba por inducción? Si a alguien le entregó dicho la verdad, ¿cómo puede usted garantizar que no se inductivo prueba existe? ¿Existe una propiedad se puede demostrar por inducción, pero con ningún otro tipo de prueba? De nuevo, ¿cómo se podía demostrar que no existe prueba directa? Se puede caracterizar a los matemáticos verdades para que no inductivo prueba existe, o se puede caracterizar esas declaraciones que han inductivo pruebas, pero no tienen ninguna otra prueba?
Antes de este ejercicio, comenta sobre cómo la inducción sufre de la debilidad que uno ya tiene que "saber" (o adivinar) el resultado deseado antes de la inducción puede ser aplicado y que sólo en determinadas situaciones puede inducción ser utilizado para descubrir, por ejemplo, una identidad particular. Búsqueda de una identidad particular podría ser hecho sin la inducción, pero para problemas más complicados, a menudo se adivina en una fórmula a través de la no-inductivo técnicas, mientras que la inducción puede proporcionar los más fáciles de la prueba. De hecho, algunos matemáticos, tales como David Bradley en su Más sobre la Enseñanza de la Inducción de la carta al editor (p. 8) para el MAA de Enfoque, argumentan que la inducción es un abusado de la prueba técnica y debe ser en general evitado si más conceptual/prueba directa se puede encontrar. Por supuesto, algunos matemáticos, incluyendo Gunderson y Pablo Stockmeyer, no muy de acuerdo con esta, en donde este último se va a escribir en su propia carta al editor (Más en la Inducción) en el MAA de Enfoque (p. 28) que, "sin duda podemos construir pruebas de combinatoria de identidades, tales como el $1+2+3+\cdots+n=n(n+1)/2$ que ocultar la inducción a partir de nuestros estudiantes. Como los matemáticos, sin embargo, debemos tener en cuenta que con las identidades de este tipo de inducción está siempre presente, al menos en el fondo."
Gunderson apoya Stockmeyers el argumento y señala que, desde el conteo de los números se definen de manera recursiva, y la cantidad de operaciones matemáticas como la suma de enteros) se definen de manera recursiva, y confirmó de manera inductiva, que la inducción es casi siempre en el trabajo. Él va a decir lo siguiente:
Uno puede tomar este razonamiento un poco más allá y argumentan que la inducción es en realidad vivo en cualquier enunciado matemático. (p. 104)
Curiosamente, una reciente discusión en Reddit matemáticas hilo de que se trate a sí mismo con si o no algunas declaraciones son sólo comprobable por un método en particular, con "la inducción o la contradicción", se destaca como prueba posible de técnicas. Gunderson da el ejercicio
Deje $1\leq a_1\leq a_2\leq\cdots\leq a_n$ ser enteros positivos. Probar que si $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=1,$$ then $a_n<2^{n!}$.
como un ejemplo de un problema que "parece sólo para tener una prueba por contradicción o hacia abajo de la inducción."
Independientemente de ello, parece que su pregunta en particular, y varias otras preguntas relacionadas, tales como aquellos en el Ejercicio 31, están lejos de ser ", zanjó."
