Integral del producto$x^n e^x$

Question

Estaría muy contento si me pudiera dar su opinión sobre esta forma de integrar la siguiente expresión. Creo que no tiene problemas, pero sólo quería confirmar:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

¡Muchas gracias!

Answer 1

No, tu argumento está completamente equivocado, lo siento. Usted está confundiendo $$ (\ ln u) ^ n $$ con $$ \ ln (u ^ n) $$ que son muy diferentes.

Por cierto, si intentas diferenciar, obtienes $ D (ne ^ x (x-1)) = ne ^ x (x-1) ne ^ x = nxe ^ x $$

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Sugerencia: $$ \ int x ^ ne ^ x \, dx = (x ^ n p (x)) e ^ x $$ donde$p(x)$ es un polinomio de grado como máximo$n-1$.

Answer 2

ps

De hecho, la manera de ir sobre esto es utilizar IBP y obtener una relación de recurrencia.

Answer 3

Aquí hay una manera de proceder. Tenga en cuenta que

$$ \begin{align} \int x^ne^x\,dx&=\left.\left(\frac{d^n}{da^n}\int e^{ax}\,dx\right)\right|_{a=1}\\\\ &=\left.\left(\frac{d^n}{da^n}\frac{e^{ax}}{a}\right)\right|_{a=1}\\\\ &=\left.\left(\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{d^k a^{-1}}{da^k}\frac{d^{n-k} e^{ax}}{da^{n-k}}\right)\right|_{a=1}\\\\ &=e^x\sum_{k=0}^n (-1)^k \left(\binom{n}{k}\,k!\right)x^{n-k}\\\\ &=e^x\left(x^n+\sum_{k=1}^n (-1)^n\left(n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)\right)x^{n-k}\right) \end {align} $$

Que da la forma explícita del polinomio,$p(x)$, como se discute en el post por egreg.

Answer 4

Si tiene una integral de la forma$$\int f(x)g(x)dx$$ such that $ \ existe \ n \ in \ mathbb {N}$ for which $$\frac{d^nf(x)}{dx^n}=0$Es fácil de calcular (como es el caso de exponenciales), es conveniente aplicar el método tabular para la integración por partes y luego proceder por inducción.

Answer 5

Otra variante es el uso de la Diferencial operador $D_x$ y es inverso $D_x^{-1}$ que denota la integración indefinida.

El siguiente es válido \begin{align*} D_x^{-1}\left(e^xf(x)\right)=e^x\frac{1}{1+D_x}f(x) \tag{1} \end{align*}

Obtenemos con (1) \begin{align*} \int e^x x^n\, dx&=\frac{1}{D_x}\left(e^x x^n\right)\\ &=e^x\frac{1}{1+D_x}x^n\\ &=e^x\sum_{k=0}^\infty(-1)^kD_x^k x^n\tag{2}\\ &=e^x\sum_{k=0}^n(-1)^k\frac{n!}{k!}x^{n-k} \end{align*}

Comentario

• En (2) utilizamos la serie geométrica de expansión.