Truco Fibonacci y demostrarlo.

Question

Estoy tratando de aprender trucos Fibonacci y tengo uno que no puedo probar. Sé que funciona porque he intentado varias veces, pero no tengo ni idea de cómo probar. Aquí está:

 f(0)^2 + f(1)^2 + f(2)^2 + f(3)^2 = f(3)f(3+1)
  0    +   1    +   1    +   4    =   2  *  3
            = 6                          =6 
 

¿Hay alguna manera de demostrar esto?

Answer 1

Base: ok

Paso inductivo: Suponga$∑_{i=0}^{n}f(i)^2=f(n)f(n+1)$. F (n 1) (f (n) f (n 1))% (%)% ps

Hay una interpretación geométrica:

Answer 2

Ya ha demostrado que funciona para un ejemplo$k=3$. Ahora escribe la ecuación general $$ \ sum_ {k = 0} ^ n F_k ^ 2 = F_n \ cdot F_ {n 1} $$ y añade$F_{n+1}^2$ en ambos lados. Se obtiene $ F_ {n 1} ^ 2 \ sum_ {k = 0} ^ n F_k ^ 2 = \ sum_ {k = 0} ^ {n 1} F_k ^ 2 = F_ {n 1} ^ 2 F_n \ cdot F_ {n 1} = \ left (F_ {n 1} F_n \ right) \ cdot F_ {n 1} $$ y use$F_{n+2}=F_{n+1}+ F_n$, la definición de números de Fibonacci.

Answer 3

Dado que el caso base es verdadero, supongamos que $$ \ sum_ {i = 0} ^ {n} f (i) ^ 2 = f (n) f (n 1) $$ es también cierto y usamos esta suposición para probar Que $ \ sum_ {i = 0} ^ {n 1} f (i) ^ 2 = f (n 1) f (n 2)