Cauchy-Producto de una serie no absolutamente convergente

Question

Al calificar algunos cursos básicos de análisis, he leído un argumento, que un producto Cauchy de dos series que convergen pero no absolutamente nunca puede converger, es decir, si$\sum a_n$,$\sum b_n$ converge pero no absolutamente, la serie$\sum c_n$Con$$c_n= \sum_{k=0}^n a_{n-k}b_k$ $ diverge.

Aunque no teníamos ningún teorema en el curso que indicara algo como esto, me hizo preguntarme si era verdad.

Answer 1

Como Davide Giraudo ha dicho en los comentarios, podemos encontrar un ejemplo de contador usando$a_k = b_k = (-1)^k/k$ para$k\geq 1$ y$a_0=b_0=0.$ En ese caso calculamos$$c_n = \sum_{k=0}^n a_{n-k} b_k = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{n-k}}{n-k} \frac{(-1)^k}{k} = (-1)^n \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k(n-k)}$ $

ps

Mostramos$$ = \frac{(-1)^n}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{n-k+k}{k(n-k)} = \frac{(-1)^n}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac{1}{k} + \frac{1}{n-k}\right) = 2\frac{(-1)^n}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}.$ converge aplicando el criterio de Leibniz. $\sum c_n$ Está claro, por lo que solo necesitamos verificar que$c_n \to 0$ está disminuyendo monotonamente para un tamaño suficientemente grande$d_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} $

Calculamos$n.$ $

Puesto que$$d_{n+1}- d_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}= \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}.$ para todo$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \geq 1$ so$n\geq 2$ es realmente monótono.