diferencia entre

Question

El problema original en realidad me quiere a encontrar que uno es un cero módulo. Pero primero, ¿cuál es la diferencia entre el$\mathbb{Q}[X]/(X-1) \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}[X]/(X+1)$$\mathbb{Q}[X]/(X-1)\otimes_{\mathbb{Q}[X]}\mathbb{Q}[X]/(X+1)$? Soy nuevo en el concepto de "producto tensor" y estoy teniendo problemas para entender esto.

De acuerdo a la definición, consideramos a $\mathbb{Q}[X]/(X-1)$ como un módulo más de $\mathbb{Q}$ en el primero, y lo consideran como un módulo más de $\mathbb{Q}[X]$ en el segundo. Pero, ¿cómo hacer una diferencia?

Más específicamente, desde $\gcd(X-1,X+1)=1$$\mathbb{Q}[X]$, lo $\mathbb{Q}[X]/(X-1)\otimes_{\mathbb{Q}[X]}\mathbb{Q}[X]/(X+1)$ es un módulo cero, porque no existe $f,g\in\mathbb{Q}[X]$ tal que $(X-1)f + (X+1)g = 1$. Como resultado, para cualquier $r\otimes s=1\cdot (r\otimes s)=\left((X-1)f + (X+1)g\right)\cdot(r\otimes s)=(X-1)(fr\otimes s)+(X+1)(gr\otimes s) = 0$

Pero no sé cómo lidiar con el otro.

Answer 1

Lo que falta es que el anillo está tensoring más afecta a los escalares se puede deslizar de izquierda a derecha en el producto tensor. $\def\Q{\mathbb{Q}}$

De hecho, la primera de su tensor de productos es $\mathbb{Q}$ y el segundo es cero. Vamos a mostrar la segunda (la prueba también funciona y es la mejor prueba, ya que se generaliza, pero yo quisiera tener la prueba de que hace hincapié en el "deslizamiento"). Deje $f$ ser arbitrario en $\mathbb{Q}[x]/(x-1)$. A continuación,$xf = f$. Para $g$ arbitrarias en $\mathbb{Q}[x]/(x+1)$, uno ha $xg = -g$.

Así que, dado que $f \otimes g \in \Q[x]/(x-1) \otimes_{\Q[x]} \Q[x]/(x+1)$,$f \otimes g = (xf) \otimes g = f \otimes (xg) = -(f\otimes g)$$f \otimes g = 0$; ya que cada elemento del producto tensor es una suma de "simple tensores" (los de la forma $f \otimes g$), el tensor de producto es cero.

Por el otro ejemplo, hay un $\Q$-módulo de isomorfismo $\mathbb{Q}[x]/(x+1) = \mathbb{Q}$ dado por la evaluación de un polinomio en $-1$, y lo mismo para el otro módulo, por lo que el producto tensor es $\Q \otimes_\Q \Q$ que es naturalmente isomorfo a $\mathbb{Q}$.

Soapbox: podrás conseguir un montón de conferencias acerca de cómo la mejor manera de pensar acerca de un producto tensor es en términos de su universal de los bienes, lo cual es cierto, pero la manera práctica de pensar en ello como "sumas de símbolos $a \otimes b$ donde se puede deslizar a un r de la izquierda a la derecha" es también muy importante y es más fácil de aprender a primera. Tenga en cuenta que un montón de principiantes se olvidan de las "sumas" de ahí, que es importante.