¿Es$\Delta C_c^\infty$ un subconjunto denso de$L^p(\mathbb{R}^d)$?

Question

Yo estoy luchando para obtener una cierta densidad resultado. Es bien sabido que $C^\infty_c(\mathbb{R}^d)$ es denso en $L^p (\mathbb{R}^d)$$1\leq p<\infty$.

Es bien sabido que para $\lambda>0$, $(\lambda -\Delta) C_c^\infty$ es denso en $L^p(\mathbb{R}^d)$$1\leq p <\infty$.

Prueba de este hecho requiere de la máxima principio y Hahn-Banach teorema, y la representación de Riesz teorema. (Expresado en Krylov del Elípticos y Parabólicos ecuación en espacios de Sobolev)

Me pregunto si $\Delta C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ es denso en $L^p (\mathbb{R}^d)$.

He intentado mediante el uso de Newtonial potencial, pero no puedo obtener el resultado deseado porque me encontré $C^\infty$ función, pero no puedo hacer una secuencia de $C^\infty$ funciones con soporte compacto. Incluso he intentado método cut-off, no puedo garantizar que el hecho.

Answer 1

No por $p=1$, sí para $1<p<\infty$.

Si $\phi\in \Delta C^\infty_c$$\int\phi=0$; esto demuestra que $\Delta C^\infty_c$ no es denso en $L^1$.

Uno podría pensar en un principio que esto muestra lo mismo para otros $p$, pero no es así, debido a que la integral no es un almacén lineal funcional. Supongamos que a partir de ahora en ese $1<p<\infty$.

Supongamos que $K\in L^1\cap L^\infty$, y para $\delta>0$ definir $$K_\delta(x)={\delta^d}K\left( \delta x\right).$$If $\phi\C^\infty_c$ then $||K_\delta*\phi||_1\le||K||_1||\phi||_1$ and $||K_\delta*\phi||_\infty\le c\delta^d$, hence $$||K_\delta*\phi||_p\to0\quad(\delta\to0).$$

Ahora decir $K=c\chi_{B(0,1)}$ donde $c$ es elegido de manera que $\int K=1$. Decir $G$ es la función de Green. Entonces $$K_\delta*G(x)=G(x)\quad(|x|>1/\delta),$$so if $\phi\C^\infty_c$ and we set $$\psi_\delta=(\phi-\phi*K_\delta)*G$$then $\psi_\delta\C^\infty_c$. So $\phi\phi*K_\delta\en \Delta C^\infty_c$, and if $||f-\phi||_p<\epsilon$ then $||f-(\phi\phi*K_\delta)||_p<2\epsilon$ for small enough $\delta$.