Mapas de vectores primitivos y el río Conway, ¿alguien ha construido esto en SAGE?

Question

Estoy tratando de enseñar la teoría de los números de John Stillwell los Elementos de la Teoría de números en el próximo semestre. Hay dos secciones (5.7 y 5.8) en que se describe el diagrama de método para la obtención de los vectores primitivos que en última instancia conduce a una sana comprensión de los valores que la forma cuadrática $x^2-ny^2$ puede alcanzar fija $n$ y enteros $x,y$. El "río" es un camino particular en este "árbol de la integral de las bases", que separa los valores positivos y negativos de la forma cuadrática. He aquí un ejemplo: un ejemplo de David Vogan de MIT Para ser justos, hay una buena discusión en Stillwell, mi pregunta es simplemente esta:

Alguien ha implementado una rutina, comandos, etc. que produce una cierta parte de la integral de árbol de bases o la más interesante diagramas como se muestra en la sección 5.8 de Stillwell?

Yo estoy más inclinado a la cubierta si no se puede crear ejemplos sin caer presa de los inevitables errores aritméticos voy a hacer en la creación de un diagrama de este tipo. También, para la tarea, sería realmente agradable para ellos para ser capaz de jugar con él sin necesidad de invertir demasiado tiempo.

Gracias de antemano por su ayuda!

Answer 1

EDIT: creo que debo resaltar que yo no tengo ningún programa de gráficos para esto y no soy competente para hacer uno. Los diagramas a continuación se hacían a mano, escaneado en mi página de inicio del escáner como archivos jpeg; aquellos que parecen funcionar mejor en el MSE de archivos pdf. Mis programas dan una buena idea sobre cómo el diagrama debería buscar, eliminar la simple aritmética de los errores; sin embargo, un usuario necesita para leer algunos críptica de salida y, a continuación, dibuje el diagrama.

ORIGINAL: No es Sabio, pero he escrito varios programas, ya sea utilizando o ayudar a dibujar el río para una beca Pell forma. En primer lugar, pongo cuatro fragmentos en http://zakuski.utsa.edu/~jagy/other.html con el prefijo indefinite_binary. Segundo, el libro de Conway que presentó este diagrama está disponible en http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/conwaysens.pdf y para la venta de un libro real.

Especialmente para Pell formas, he llegado a preferir un híbrido diagrama, uno que hace hincapié en la automorphism grupo de la forma $x^2 - n y^2.$ Ver los últimos respuesta en dar una solución a un doble de recurrencia es exhaustiva y, de hecho, muchas de las respuestas anteriores.

Te puedo decir que en realidad el dibujo de estas cosas es lo que explica ellos...Conway deliberadamente deja de lado los automorfismos, él quería una breve presentación, me imagino, yo realmente quería incluir y mostrar cómo el diagrama muestra el generador de ese grupo. También se discute en muchos teoría de números libros, incluyendo mi favorito, Buell.

Usted es bienvenido a mi correo electrónico, gmail es el mejor (haga clic en mi perfil y ve a la AMS Membresía Combinada de los Listados de enlace). Tengo muchos diagramas, programas en C++, lo que tiene.

Aquí es el más simple de los dos diagramas que hice para $x^2 - 8 y^2.$ Todo lo que quiero decir por el automorphism grupo es la única fórmula $$ (3x+8y)^2 - 8 (x+3y)^2 = x^2 - 8 y^2, $$ with the evident visual column vector $(3,1)^T$ giving a form value of $1$ and the column vector $(8,3)^T$ directly below it giving a form value of $-8,$ thus replicating the original form.

This is another pretty recent, the very similar $x^2 - 2 y^2,$ where I was emphasizing finding all solutions to $x^2 - 2 y^2 = 7,$ and how there is more than one "orbit" of the automorphism group involved, i.e. every other pair...

Well, why not. One should be aware that the Gauss-Lagrange method of cycles of "reduced" forms is part of the topograph, in fact one such cycle is the exact periodocity of Conway's river. Reduced forms, that is $a x^2 + b xy + c y^2$ with $ca < 0$ and $b > |a+c|,$ occur at what Weissman calls "riverbends," where the action switches sides of the river. Anyway, all the following information is automatically part of the diagram for $x^2 - 13 y^2.$ Como resultado, el diagrama es bastante grande, me tomó dos páginas. Generar soluciones de la ecuación Cuadrática Ecuación Diophantine

jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./Pell 13


0  form   1 6 -4   delta  -1
1  form   -4 2 3   delta  1
2  form   3 4 -3   delta  -1
3  form   -3 2 4   delta  1
4  form   4 6 -1   delta  -6
5  form   -1 6 4   delta  1
6  form   4 2 -3   delta  -1
7  form   -3 4 3   delta  1
8  form   3 2 -4   delta  -1
9  form   -4 6 1   delta  6
10  form   1 6 -4

 disc   52
Automorph, written on right of Gram matrix:  
109  720
180  1189


 Pell automorph 
649  2340
180  649

Pell unit 
649^2 - 13 * 180^2 = 1 

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Pell NEGATIVE 
18^2 - 13 * 5^2 = -1 

=========================================

  4 PRIMITIVE 
11^2 - 13 * 3^2 = 4 

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  -4 PRIMITIVE 
3^2 - 13 * 1^2 = -4 

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