Resolver un límite difícil

Question

Estoy tratando de verificar para que $z \in \mathbb{R}$ la serie $\sum _{n=1}^{\infty } \left(1-\cos \left(\frac{1}{n}\right)\right)^z$ converge. La única prueba de que fue un éxito para mí es el Kummer Prueba que dio al parecer el resultado correcto que converge si $z > \frac{1}{2}$.

Para llegar allí yo uso el hecho de que la serie $\sum _{n=1}^{\infty } a_n$ converge (cuando el límite existe) si $\lim_{n\to \infty } \, n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right) > 1$

El uso de Mathematica puedo obtener $\lim_{n\to \infty } \, n \left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\lim_{n\to \infty } \ n \left(\left(1-\cos \left(\frac{1}{n}\right)\right)^z \left(1-\cos \left(\frac{1}{n+1}\right)\right)^{z}-1\right) = 2z$ and therefore $z > \frac{1}{2}$.

Empezar a leer aquí si usted está interesado sólo en el problema y no se cómo llegué hasta allí:

Ahora trato de entender cómo conseguir que

$\lim_{n\to \infty } \ n \left(\left(1-\cos \left(\frac{1}{n}\right)\right)^z \left(1-\cos \left(\frac{1}{n+1}\right)\right)^{z}-1\right)=\lim_{x\to 0} \, \frac{-1+(1-\cos (x))^z \left(1-\cos \left(\frac{x}{1+x}\right)\right)^{z}}{x} = 2z$

Todos los intentos que hice para mostrar esto en un modo elemental fallado y por eso espero que alguien tiene una idea de cómo comprobar el resultado. Para mí no es claro por qué el resultado para el límite es la forma en que se

Answer 1

Tenga en cuenta que${\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} {1 - \cos(x) \over x^2} = {1 \over 2}}$, para que${\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} {\big(1 - \cos({1 \over n})\big)^z \over ({1 \over n^2})^z} = {1 \over 2^z}}$

Por lo tanto, puede utilizar la prueba de comparación de límites con${\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \bigg({1 \over n^2}\bigg)^z = \sum_{n=1}^{\infty} {1 \over n^{2z}}}$. Esto converge iff$z > {1 \over 2}$ por el$p$ - test.

Answer 2

La clave es utilizar la aproximación de la serie de Taylor$$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2},$$ which is good for small $ x$. That applies to both $ x$ and $ $, and so $% #% $ Este razonamiento se puede hacer formal usando la notación grande-O (o poco-O), pero dejo eso para que usted reflexione.