Construir una matriz racional$A$ st$A^m = I$

Question

Deje $K$ ser un campo de $\mathbb{C}$, $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Q}$, Vamos a $V$ $n$ dimensiones de espacio vectorial sobre $K$.

Quiero construir una matriz de $A \in GL(V)$ s.t. $A^m = I$ algunos $m$ $A^k \neq I$ $ 0 < k < m$

(En otras palabras, quiero crear un elemento $g$ de un grupo finito que tiene orden de $m$ y representan en $GL(V)$)

Si $K = \mathbb{C}$, puedo construir $A$ como una matriz diagonal con los valores de la unidad de $\mathbb{C}$, es decir, $\{ z \in \mathbb{C}: z^m = 1 \}$ a continuación, voy a conseguir $A^m = I~~~\forall m \in \mathbb{N}$

Si $K = \mathbb{R}$, puedo construir $A$ matriz de un conjunto de bloques como:

$ \begin{bmatrix} R_m & 0 \\ 0 & I_{n-2} \end{bmatrix} $ where $R_m = \begin{bmatrix} \cos ( \frac{2 \pi}{m} ) & -\sin( \frac{2 \pi}{m} ) \\ \sin ( \frac{2 \pi}{m} ) & \cos( \frac{2 \pi}{m} ) \\ \end{bmatrix} $

Entonces, puedo también te $A^m = I~~~\forall m \in \mathbb{N}$

Sin embargo, si $K = \mathbb{Q}$, el problema es diferente, yo no creo que pueda construir $A$ por cada $m$.

Si yo creo que el problema como un subgrupo cíclico $C_m$ de grupo simétrico $S_n$, y luego puede representar el elemento de la $C_n$ por permuting las filas de una matriz de identidad, por ejemplo,

Para $n=3$, vamos a $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$, then $^3 = I$, but $^k \neq I$ for $0 < k < 3$

Puedo hacer lo mismo para todas las $m \leq n$ a través de la fijación $n-m$ filas de la matriz de identidad. Cómo acerca de si $m > n$?

Mediante la adición de los números impares de signo menos a las filas de la matriz de identidad, como:

Para $n=3, m=6$, vamos a $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$, then $^6 = I$, but $^k \neq I$ for $0 < k < 6$

Creo que se puede construir hasta el $m \leq 2n$ utilizando el método anterior. (Pero creo que algunos $m$ es perdido, como $m=5$$n=3$)

Es posible construir $A$$m > 2n$?

(En otras palabras, ¿hay algún fiel representación lineal de la cíclico grupo $C_m$, $m > 2n$ en $GL(n,\mathbb{Q})$?)

Sé que no es un obligado de la orden de un elemento $h$ $S_n$ por Landau función del $g(n)$. Por permuting las filas de una matriz identidad y la adición de signo, el orden máximo que puedo representar debería estar delimitado por $2g(n)$, ¿verdad?

Para$m$$n < m \leq 2g(n)$, ¿hay algún entero positivo $m$ que no puedo construcción $A$ s.t. $A^m = I$ $A^k \neq I$ $0 < k < m$ ? ¿Qué son?

Answer 1

Sin embargo, si $K = \mathbb{Q}$, el problema es diferente, yo no creo que pueda construir $A$ por cada $m$.

Este es correcta. el siguiente resultado es (creo) bien conocido

Deje $m = p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ ser la factorización prima con $p_1<\cdots < p_k$. El grupo $\mathrm{GL}_n(\mathbb Q)$ tiene un elemento de orden $m$ si y sólo si

1. $\displaystyle \sum_{i=1}^k(p_i-1)p_i^{\alpha_i-1} -1 \leq n$ $p_1^{\alpha_1} = 2$ , o
2. $\displaystyle \sum_{i=1}^k(p_i-1)p_i^{\alpha_i-1} \leq n$ lo contrario.

Una prueba implica cyclotomic polinomios.

Así, por ejemplo, $\mathrm{GL}_2(\mathbb Q)$ $\mathrm{GL}_3(\mathbb Q)$ no cuenta con ningún elemento de orden $5$, sólo órdenes de $1,2,3,4$ o $6$.

Varios de los documentos cubrir este tema. Por ejemplo En el Orden Máximo de Torsión de los Elementos en GL n, Z. y Aut F . o La Máxima Órdenes de Subgrupos Finitos en GLn(Q) Shmuel Friedland Actas de la Sociedad Matemática Americana Vol. 125, Nº 12 (Dic., 1997), pp 3519-3526