¿Existe un homomorfismo de un producto completo de grupos cíclicos finitos en$\mathbb Z$?

Question

Tratando de responder esta pregunta, me he encontrado con la siguiente pregunta, la respuesta a la que debe ser conocido, pero es difícil de Google, así que no me pareció.

Deje $G=\prod_{n\in\mathbb N}\mathbb Z_n$ ser un completo producto finito de grupos cíclicos $\mathbb Z_n=\mathbb Z/n\mathbb Z$. Existe un homomorphism $f:G\to\mathbb Z$ tal que $f((1,1,\dots))=1$?

De acuerdo a esta pregunta, mi pregunta debería ser equivalente a la siguiente.

Es el grupo de $\{(m,m,\dots)\in G: m\in\mathbb Z\}$ un sumando directo de el grupo $G$?

Answer 1

La única homomorphisms $\varphi:\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ son los más obvios $$\varphi\left(a_1,a_2,\dots\right)=\sum_{n\in\mathbb{N}}a_nb_n,$$ donde $\left(b_1,b_2,\dots\right)$ es una secuencia de enteros con $b_n=0$ para todos, pero un número finito de $n$. En particular, $\varphi$ está determinado por su restricción a $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$. Para una prueba, véase, por ejemplo, http://mathoverflow.net/questions/10239/is-it-true-that-as-z-modules-the-polynomial-ring-and-the-power-series-ring-ove/10249#10249.

Pero la evidente mapa de $\theta:\prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z} \to \prod_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ manda a cada elemento de a $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$ a un elemento de torsión, el cual debe ser, por tanto, en el núcleo de cualquier homomorphism $\alpha:\prod_{n \in\mathbb{N}} \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$. Así que por el teorema anterior, $\alpha\circ\theta=0$$\alpha=0$.