El primer teorema establece que si $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ es continua, entonces la función de $g: [a,b] \to \mathbb{R}$ definido por $g(x) = \int_a^x f(t) \ dt$ es diferenciable y satisface $g'(x) = f(x)$ todos los $x \in [a,b]$.
En un sentido, uno podría estar inclinado a pensar que el segundo teorema no es un teorema en su propia luz. Si $F$ es cualquier función definida en $[a,b]$ $F' = f$ tenemos $F(x) = g(x) + C$$F(x) - F(a) = (g(x) + C) - (g(a) + C) = g(x) - g(a) = g(x) = \int_a^x f(t) \ dt$. Es un corolario inmediato de la primera teorema, y por lo tanto no se merece su nombre.
Hay dos contrapuntos a este:
$(1)$ Este problema depende de cómo los teoremas se presentan. El segundo teorema fundamental se presenta en diferentes formas. En introductorios de cálculo de los libros, que a menudo se presenta la forma en que lo describen anteriormente: si $f$ es continua en a$[a,b]$$F' = f$$[a,b]$, $F(x) - F(a) = \int_a^x f$ todos los $x \in [a,b]$. Sin embargo, se pueden debilitar una hipótesis del segundo teorema de modo que la continuidad de $f$ no es necesario, sólo integrabilidad de Riemann. Esto es más fuerte y requiere de una manera fundamentalmente diferente de la prueba.
$(2)$ Pedagógicamente, es mejor tener dos teoremas. El primer teorema permite a nosotros para diferenciar las integrales. Por ejemplo, si $f(x) = \int_{\cos x}^{x^2} e^t \ dt$, lo $f'(x)$? Por el contrario, el segundo teorema nos permite calcular las integrales. ¿Qué es $\int_{-1}^{1} \frac{2x+2}{3x^2 + 6x - 25} \ dx$? Podemos calcular la antiderivada y resolver. El problema de los dominios para ambos teoremas son diferentes. Si tenemos un "paraguas" teorema llamado teorema fundamental del cálculo, no es el más conveniente y puede no ser lo más intuitiva para los estudiantes.
