El punto es que las simetrías en QM (bijective las operaciones de envío de los estados a los estados la preservación de la probabilidad de transición) puede ser representado por cualquiera de las unitario o antiunitary operadores. Esta es la declaración de un famoso teorema debido a Wigner.
Es posible demostrar también que, si el Hamiltoniano de un sistema delimitado, a continuación, inversión de tiempo debe ser representado por un antiunitary operador. Esta es la razón por la que la inversión de tiempo es antilinear.
Uno puede preguntarse por qué tan diferente tipos de operadores se utilizan igualmente para representar un solo grupo. El punto es que el punto de vista correcto es el proyectiva , y no el uno en el espacio de Hilbert. Estados puros son los rayos, es decir, no de fuga de Hilbert vectores en el espacio hasta los más complejos factores. Que es el espacio de los estados. Lorentz grupo actúa directamente sobre ese espacio que no es lineal.
Simetrías de transformar los rayos los rayos de la preservación de la probabilidad de transición de un par de estados (que pueden ser definidos y manejados en el espacio de los rayos directamente).
Por lo tanto, no hay verdadera distinción entre lineal y antilinear transformaciones. Sin embargo, sólo por conveniencia computacional, desarrollamos la teoría en el espacio de Hilbert, cuyo espacio de estados es el espacio proyectivo.
Teorema de Wigner actúa a este nivel. Se dice que si tenemos la fuerza de la teoría para ser discutido en el espacio de Hilbert (la introducción de un montón de ambigüedades, pero de manera rentable la explotación de la estructura lineal) simetrías son siempre la norma de la preservación y necesariamente lineal o antilinear (dependiendo del simetría).
Otro, equivalente, punto de vista es el siguiente. Los estados son la densidad de las matrices, es decir, positivo (por lo tanto auto-adjunto), de la clase de seguimiento operador de la unidad de seguimiento en el espacio de Hilbert del sistema. Estados puros son extremal los puntos en el espacio de estados (que, de hecho, coinciden en que los rayos de la otra imagen).
La única posible composiciones de los estados, en esta foto, son reales combinaciones convexas:
$$a \rho + b \rho'\quad a,b>0 \quad a+b=1\:.\tag{1}$$
La acción de una simetría tiene siempre la forma, donde a $U$ es el operador unitario o antiunitary prescrito por Wigner,
$$\rho \mapsto U\rho U^\dagger$$
así que no hay manera de distinguir la central unitaria de caso de la antiunitary uno con la parte convexa lineal de la estructura (1), como $a$ $b$ son reales.
$$U(a \rho + b \rho') U^\dagger = a U\rho U^\dagger + b U\rho' U^\dagger\:.\tag{2}$$
Observe que si los números complejos $a,b$ fueron admitidos, $U$ antiunitary produciría, en lugar de (2),
$$U(a \rho + b \rho') U^\dagger = \overline{a} U\rho U^\dagger + \overline{b} U\rho' U^\dagger\:.\tag{3}$$
Como último, importante, comentario que el estrés continuo simetrías (continua proyectiva representaciones de un continuo o Mentira topológico grupo) están siempre representados (hasta fases) por unitario de los operadores, al menos, a la hora de representar la más grande conectado subgrupo que contiene la identidad del grupo. Antiunitary operadores pueden entrar a la representación cuando consideramos otras partes del grupo que no puede ser continuamente conntected a la identidad. Este es el caso de la inversión de tiempo con respecto a la totalidad de Lorentz grupo, o la paridad de reflexión que, en cambio, es generalmente unitarily representados. La representación de la $O(1,3)$ en el espacio de Hilbert de la teoría es una representación mixta, generada por la central unitaria de rep $SO\uparrow(1,3)$, la central unitaria de operador $P$ representación espacial de la reflexión, el antiunitary operador $T$ que representa la inversión de tiempo de operación, y la mezcla de antiunitary operación $TP$. Cada uno de estos operadores de $P,T,TP$ cuando se compone con $SO\uparrow(1,3)$ produce una representación de la correspondiente componente conectado de $O(1,3)$ que no contiene la identidad.
Respecto a tu pregunta técnica, si un antiunitary operador puede ser representado por una matriz, la respuesta es la siguiente. Fijar un Hilbertian base $\{\psi_i\}$ en el espacio de Hilbert $\cal H$ y definir el estándar compleja conjugación de los componentes,
$$C : \sum_i c_i \psi_i \mapsto \sum_i \overline{c_i} \psi_i\:. $$
$C$ es claramente antiunitary y depende de la base fija. Para cada antiunitary operador $U: \cal H \to \cal H$, no existe un único unitaria operador $V_U :\cal H \to \cal H$ tal que $U= CV_U$. La prueba es trivial.
Obviamente, $V_U$ admite una representación de la matriz de $(V_U)_{ij} = \langle \psi_i| V_U\psi_j\rangle$. Pero uno tiene que tener en su mente que también la compleja conjugación $C$ actos después de la acción de la matriz. Dicha descomposición depende de la elegida.
