Preguntas sobre el método de la variación antitética

Question

Supongamos que queremos estimar una expectativa problema $E(f(X))$ donde $X$ es una variable aleatoria con distribución conocida, por la simulación y la Gran Ley de los números de estimador. Antitético método es una manera de reducir la varianza del estimador en tales casos.

Si $X$ es una 1D variable aleatoria con cdf $F$, antitético método se aplica de la siguiente manera:

obtener una muestra de la U de la distribución uniforme sobre$[0,1]$, $X_1=F^{-1}(U)$ F como cdf, y $Y_1=F^{-1}(1-F(X_1)) $también tiene F como cdf y $X_1$ $Y_1$ tienen correlación negativa. Entonces E(f(X)) es estimado por $\frac{\sum_{i=1}^N f(X_i)+f(Y_i)}{2N}$.

Aquí están mis preguntas:

1. si $X_1$ $Y_1$ tienen correlación negativa, luego de reducir la varianza del estimador, es correcto que $f(X_1)$ $f(Y_1)$ también debe tener correlación negativa? ¿Cuál es la condición en $f$ para que esto sea cierto?

2. Si $X$ es un multivariante variable aleatoria, ya que su cdf $F$ no tiene cuantil inversa F^{-1}, es todavía posible aplicar el método antitético, en general, de los casos? Si consideremos el caso especial en el que los componentes de $X$ son independientes, es posible aplicar el método antitético? Cómo si sí?

3. Me doy cuenta de que antitético también aumenta las muestras sin realizar más muestreos de cualquier distribución. Recuerdo que el aumento de tamaño de la muestra también reducirá la varianza de LLN estimadores. Si la varianza del estimador puede ser reducida por el método antitético, ¿cuánto es aportado por el aumento de tamaño de la muestra y cuánto mediante la introducción de una correlación negativa entre las muestras? Si el uso del alcoholímetro muestras con el mismo tamaño de las muestras después de duplicado por antitético, que tendrá menos varianza?

Gracias y saludos!

Answer 1

1. Sí. No hay ninguna condición simple. Al $f$ es monótona, $f(X_1)$ $f(Y_1)$ todavía se correlacionó negativamente. Al $f$ no es monotónica, todas las apuestas están apagadas. Por ejemplo, supongamos $F$ ser una distribución uniforme en $[-1,1]$ y deje $f(x) = x^2$. A continuación,$X_1 = -Y_1$, de donde $f(X_1) = f(Y_1)$, lo que implica la $f(X_1)$ $f(Y_1)$ están perfectamente correlacionadas: usted obtener ninguna información adicional acerca de la expectativa de $(X_1, Y_1)$ que usted de $X_1$ solo. El costo de utilizar el método antitético en este caso extremo es el doble del tamaño de la muestra con el fin de lograr un determinado estimación de la varianza.

   Un ejemplo práctico de que el problema con los no-monotónica $f$ aparece aquí.

2. En algunos casos, sí. Utilice el método antitético de los componentes de la $X$ por separado. Esto debería trabajo a condición de que los componentes no están fuertemente correlacionados o al $F$ es simétrica.

3. Siempre $f(X_1)$ $f(Y_1)$ están negativamente correlacionados, se hacen más pequeños de la estimación de la varianza con el método antitético. Como un ejemplo extremo de esto, considere el caso donde $F$ es uniforme en $[-1,1]$ $f$ es la identidad. Entonces para un único ejemplo, $Y_1 = -X_1$ y su media de $(X_1+Y_1)/2 = 0$ estimaciones de la media de $F$ exactamente; mientras que la media de dos muestras independientes $(X_1, X_2)$ tiene una variación de $1/6$.

Esta técnica parece estar relacionado, al menos en espíritu, a la latina hipercubo de muestreo.