Distribución en$(0, \infty)$ que no se puede ampliar a$\mathbb{R}$

Question

Estoy trabajando en ejercicios de Friedlander la Introducción a la Teoría de Distribuciones y estoy atascado en un problema en particular.

La pregunta es: "Mostrar que $\langle u, \phi\rangle = \sum_\limits{k \geq 1} \partial^k \phi(1/k)$ es una distribución en $(0, \infty)$, pero eso no es $v\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$ cuya restricción a $(0, \infty)$ es igual a $u$."

Creo que he logrado demostrar la primera parte: Dado cualquier compacto $K \subset (0,\infty)$, tomar una prueba de función $\phi\in C^{\infty}_c(0, \infty)$$\operatorname{supp} \phi \subset K$. Tomar, a continuación, $N$ tal que $\frac{1}{N+1} < \min \operatorname{supp} \phi$. Tenemos que $\langle u, \phi\rangle = \sum_\limits{k = 1}^N \partial^k \phi(1/k)$, ya que el $\phi(1/k) = 0, \forall k>N+1$. Y así es claro que $\exists C$ $\exists N$ tal que $u$ satisface la seminorm estimaciones de $|\langle u, \phi\rangle| \leq \sum\limits_{k=1}^N |\sup\partial^k \phi|$ cualquier $\phi$.

Ahora, la segunda parte me preocupa. Creo que la forma es suponer que hay una distribución $v\in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$$v|_{(0,\infty)} = u$, y demostrar que no llegaría al seminorm estimación debido a la restricción. Sin embargo, estoy luchando para ver la forma en que debe hacerse.

Nota: me han reconocido esta distribución equivalente a $\sum\limits_{k\geq 1} \delta^{(k)}(x-1/k)$ pero no estoy seguro de cómo esto ayuda!

Answer 1

Para cerrar la pregunta, la sugerencia de Willie Wong fue elegir una función de prueba que sea igual a$\exp(x)$ dentro de$\{x:|x|<1\}$. Entonces$\langle u, \phi\rangle = \sum\limits_{k\geq 1} \exp(1/k) > \sum\limits_{k\geq 1} \exp(0)$ que no tiene límites como$k\to\infty$. Y así$|\langle u, \phi\rangle|$ no puede estar limitado por estimaciones seminorm para nuestro$\phi$ elegido.