El título lo dice, básicamente. Mi pregunta es $-$ ¿para $ n \ge 2 $, puede ser $n!!$ un cuadrado perfecto, donde $!!$ representa el factorial doble? Mi conjetura es que no, pero no parece poder encontrar una buena prueba para esto.
No, para $n$ impar, hay un primo entre $(n-1)/2$ y $n.$ El exponente de este primo en la factorización de $n!!$ es uno, es decir, impar.
Edit. al observar números pares y la definición, parece $$ (2n)!! = 2^n n! $$ en cuyo caso ignoramos el exponente de $2$ y nos concentramos en $n!,$ lo cual tampoco puede ser un cuadrado para este $n \geq 3,$ también debido a un primo impar. Ver aquí.
No entiendo tu estrategia de división. ¿Estás afirmando que si $n$ es par, entonces $n!!=2^mk!!$ para algún entero $m$ y $k$ impar?
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¿Puede un factorial ser un cuadrado perfecto?