Comportamiento de$\zeta(s)$ near$s=1$

Question

Agradecería si alguien pudiera ejecutar sobre esto y ver si funciona? cualquier sugerencia o punteros sería apreciada. Yo denotar el estándar de eta función de $\eta$$\zeta^{*}$. No he utilizado la notación big O y sólo se utiliza en general se comporta bien las funciones. No deseo expresar el pleno del término de error, pero en lugar de eso ,la parte principal.

El comportamiento de $\zeta(s)$ cerca de $1$

A partir del Teorema de Abel podemos ver que cuando $s=1$, $\zeta^{*}(1) = \log(2)$. Ahora en cuanto al $(1-2^{1-s})$ se puede escribir en términos de una exponencial como así, $$\begin{equation} 1-2^{1-s} = 1 - e^{(1-s)\log(2)} \end{equation}$$

El poder de expansión de la serie de $e^{z}$ es,

$$\begin{equation} e^{z}= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}\\ \Rightarrow 1-2^{1-s} = - e^{\log(2)(s-1)}= - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{((1-s)\log(2))^{n}}{n!} \end{equation}$$

Podemos ignorar el término al$n=0$, debido a que es cero y la suma de $n=1$ en su lugar,

$$\begin{equation} 1-2^{1-s} = 0 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1-s)^{n}\log(2)^{n}}{n!} \end{equation}$$

La expansión de esta suma y la multiplicación en el signo negativo tenemos,

$$\begin{equation} 1-2^{1-s}= (s-1) \Bigg( \log(2) - \frac{\log(2)^{2}}{2!}(s-1) + \cdot \cdot \cdot \Bigg ) \end{equation}$$

Factorización de la $\log(2)$ plazo, \begin{equation*} (s-1)\log(2)\Bigg [ 1 - \bigg( \frac{\log(2)}{2!}(s-1) + \frac{\log(2)}{3!}(s-1)^{2} - \cdot \cdot \cdot \bigg ) \Bigg ] \end{ecuación*}

Por la serie geométrica de la fórmula, para $|s| < 1$, $$\begin{equation} \frac{1}{\bigg[1 - \bigg( \frac{\log(2)}{2!}(s-1) + \cdot \cdot \cdot \bigg ) \bigg ] }= 1 + \Bigg( \frac{\log(2)}{2!}(s-1) + \cdot \cdot \cdot \Bigg ) + \Bigg( \frac{\log(2)}{2!}(s-1) + \cdot \cdot \cdot \Bigg )^{2} + \cdot \cdot \cdot \end{equation}$$ Los términos de esta serie geométrica disminuir rápidamente, por lo que sólo estamos interesados en mantener los primeros términos, mientras que dejar un buen comportamiento y analítica de la función $g$ representan los restantes términos de la función en $s$.

$$\begin{equation} \frac{1}{\bigg[1 - \bigg( \frac{\log(2)}{2!}(s-1) + \cdot \cdot \cdot \bigg ) \bigg ] } = 1 + \frac{\log(2)(s-1)}{2} + (s-1)^{2}\cdot g(s). \end{equation}$$

Ahora podemos volver a $\frac{1}{1-2^{1-s}}$, y expresarlos en términos de lo que hemos aprendido. $$\begin{equation} \frac{1}{1-2^{1-s}} = \frac{1}{\log(2)(s-1)} \Bigg( 1 + \frac{\log(2)(s-1)}{2} + (s-1)^{2}\cdot g(s) \Bigg ) = \frac{1}{\log(2)} \cdot \Bigg [ \frac{1}{s-1} + \frac{\log(2)}{2} + (s-1)g(s)\Bigg ] \end{equation}$$

Ahora podemos estudiar $\zeta(s)$ al $s$ está cerca de a $1$. $$\begin{equation} \zeta(s) = \frac{\zeta^{*}(s)}{1-2^{1-s}} = \frac{\zeta^{*}(s)}{\log(2)} \cdot \Bigg [ \frac{1}{s-1} + \frac{\log(2)}{2} + (s-1)g(s)\Bigg ] = \frac{\zeta^{*}(s)}{\log(2)} \cdot \frac{1}{s-1} + \frac{\zeta^{*}(s)}{2 \log(2)} \log(2) + \frac{\zeta^{*}(s)(s-1)g(s)}{\log(2)} \end{equation}$$

Como ya sabemos, $\zeta^{*}(1) = \log(2)$ es analítica, por lo $\zeta^{*}(s)$ puede ser ampliado con una serie de alrededor de $1$, $$\begin{equation} \zeta^{*}(s) = \log(2) + (s-1)a_1 + (s-1)^{2}a_2 + \cdot \cdot \cdot = \log(2) + (s-1) h(s) \end{equation}$$ para una buena conducta y analítico $h$.

Cerca de $s=1$ y mirando a los términos principales, $$\begin{equation} \zeta(s) = \frac{\zeta^{*}(s)}{1-2^{1-s}} = \frac{ \log(2) +(s-1)h(s) }{\log(2)(s-1)} = \frac{1}{s-1} + \frac{h(s)}{\log(2)} \end{equation}$$

Answer 1

Me parece bien. Tal vez sea interesante observar que desde $$\zeta\left(s\right)=s\int_{1}^{\infty}\frac{\frac{1}{2}-\left\{ x\right\} }{x^{s+1}}dx+\frac{1}{s-1}+\frac{1}{2},\,\,\textrm{Re}\left(s\right)>0$$ where $ \ left \ {x \ right \}$is the fractional part of$ x$, we can easily get$ % #% 1 $.