Coordenadas cilíndricas en paraboloides elípticos.

Question

Quiero calcular el volumen delimitado por:

• el cilindro $x^2+4y^2=4$ .
• el $z=0$ avión.
• el paraboloide elíptico $z = x^2 + 6y^2$ .

Me gustaría utilizar coordenadas cilíndricas. Sin embargo, nunca me he enfrentado a un problema en el que $r$ Los límites dependen de $\theta$ .

Aquí hay un boceto horrible del sólido:

La base es una elipse. Así que tomo la transformación a coordenadas cilíndricas: \begin{align} x&=r\cos\theta,\\ y&=r\sin\theta, \\ z&=z. \end{align} Lo que implica $0\leq z\leq x^2+6y^2 = r^2\cos^2\theta + 6r^2\sin^2\theta$ y $0\leq\theta\leq2\pi$ .

Sin embargo, estoy teniendo dificultades para determinar el $r$ heridas. También me gustaría saber la ecuación de la curva de intersección entre el cilindro y el paraboloide, pero no sé cómo hacerlo.

Para el $r$ Los límites que traté de considerar la ecuación para la base: $$4y^2+x^2=4\Rightarrow 4r^2\sin^2\theta+r^2\cos^2\theta = 4 \Rightarrow r=\frac{2}{\sqrt{4\sin^2\theta+\cos^2\theta}}.$$

No estoy seguro de que hacer eso sea correcto, además la integral tiene un aspecto absolutamente nefasto. Agradezco mucho su ayuda.

Answer 1

Se le dan ecuaciones en coordenadas cartesianas. Al principio hay que buscar la intersección en el mismo sistema para manejar la conveniencia de las ecuaciones dadas. Más adelante, busca las coordenadas cilíndricas. Pero no elija a priori adoptar coordenadas cilíndricas.

Para manejar la situación total, elija un parámetro adecuado que surgen de ecuaciones cartesianas dadas como u en lugar de asumir que cilíndrica $\theta$ podría ser el parámetro necesario.

Eliminar y entre las ecuaciones del cilindro y del paraboloide elíptico:

$$ x^2 + 4 y^2 = 4, z –x^2 – 6 y^2 = 0 $$ para conseguir $$ 2 z + x^2 = 12 $$

Sus coordenadas paramétricas son:

$$ z= 6 \cos^2 u , x = 2 \sqrt{3} \ sin\, u. $$

Elimine x entre las mismas ecuaciones para obtener

$$ z \, – 2\, y^2 = 4 $$ dando $$ y= \pm \sqrt {(3 cos^2 u -2)} $$

Se puede ver el anillo de demarcación entre el cilindro elíptico y el paraboloide elíptico. He engrosado esta línea como un tubo para visualizarla, ya que es el objeto central de tu consulta.

$$ x = 2 \sqrt{3} \sin u, y= \pm \sqrt{( 3 cos^2 u -2)} , z= 6 \cos^2 u, r= 1 + 9\sin^2\,u $$

Ahora, puedes convertir las ecuaciones paramétricas $z,r, u$ a $ r $ y $ \theta \, $ sus coordenadas cilíndricas preferidas, utilizando $ tan^2 \theta = \frac {( 3 cos^2 u -2)} { 12 \sin ^2 u }$ , $ dV= 4 \,r\,dz\,d\theta\,dr $ etc. Sin embargo, es ventajoso con u como es, para integrar entre los límites $ u = 0,2 \pi $

:

Programa de Mathematica:

x[u_]=2 Sqrt[3] Sin[u];y[u_]=Sqrt[3 Cos[u]^2-2];z[u_]=6Cos[u]^2;
aa=ParametricPlot3D[{x[u],-y[u],z[u]},{u,0,2 Pi},PlotStyle->{Thick,Tube[.07]}];
bb=ParametricPlot3D[{x[u],y[u],z[u]},{u,0,2 Pi},PlotStyle->{Thick,Tube[.07]}];
Show[{aa,bb},PlotRange->All]
EllCyl=ParametricPlot3D[{2 Cos[u],Sin[u],v},{u,0,2 Pi},{v,-0,6.5},PlotStyle->{Green,Opacity[0.5]}]
EllPar=ContourPlot3D[z-x^2-6 y^2==0,{x,-3,3},{y,-2,2},{z,0,6.5}]
Show[{aa,bb,EllCyl,EllPar},PlotRange->All]
Plot[{x[u],y[u],z[u]},{u,0,2 Pi},PlotStyle->{Thick,Red},GridLines->Automatic]
Plot[y[u],{u,0,2 Pi},PlotStyle->{Thick,Blue},GridLines->Automatic]
th[u_]:=ArcTan[x[u],y[u]]
ParametricPlot[{th[u],Sqrt[x[u]^2+y[u]^2]},{u,0,2 Pi},GridLines->Automatic]
ParametricPlot[{{th[u],x[u]},{th[u],y[u]},{th[u]+Pi,-y[u]},{th[u],z[u]}},{u,0,2 Pi},GridLines->Automatic,PlotStyle->{Thick,Magenta}]
Plot[th[u],{u,0,2 Pi},GridLines->Automatic]
" CYL COORDS ON ELLIPTIC  PARABOLOIDS   SE NOV 2014"

Se puede apreciar la relación entre $r, z $ y $\theta$ utilizando el parámetro elegido $u$ si no se quiere considerar el cambio de la variable independiente a $u$ . He indicado un gráfico para $\theta, r$ de la línea de demarcación en el croquis anterior.

Answer 2

Considere el cambio de variables $x=2u\Rightarrow dx = 2\,du$ . Ahora estamos trabajando en un cilindro circular: $u^2+y^2=1$ . Ahora tomemos las coordenadas cilíndricas. Obsérvese que el jacobiano es $2r$ . Y el volumen: \begin{align} V=\int_0^1\int_0^{2\pi}\int_0^{4r^2\cos^2\theta+6r^2\sin^2\theta} 2r\,dz\,d\theta\,dr = \int_0^1\int_0^{2\pi} 8r^3\cos^2\theta+12r^3\sin^2\theta\,d\theta\,dr\\ =\int_0^1\int_0^{2\pi} \overbrace{ 4r^3+4r^3\cos2\theta+6r^3-6r^3\cos2\theta}^{2\theta = s\;\Rightarrow\; 2\,d\theta=ds} \,d\theta\,dr\\ =\int_0^2\left[8\pi r^3+\int_0^{4\pi}2r^3\cos s\,ds+12\pi r^3 - \int_0^{4\pi}3r^3\cos s\,ds\right]dr\\ =\int_0^1 20\pi r^3\, dr = 5\pi. \end{align}