Adicional a las otras respuestas, que de hecho son correctas: no hay técnica existe una definición - ladra $\iff$ perro, francamente - pero 'moderno' es un bien definido el concepto de fuera de las matemáticas; y que en cierta medida es que el barkings de las matemáticas modernas, de acuerdo.
Fue una vez el caso de que los matemáticos creían pruebas para descubrir la necesariamente verdadera, debe ser números, trabajando así, y los números deben, naturalmente, no tiene divisores de cero, debe existir una geometría construida así, y esta geometría debe tener ángulos en un triángulo la suma de $180^o$. Con la excepción de la obra de Euclides (cuyos axiomas fueron en gran medida vistos por los demás como inmutable de todos modos), los teoremas de las matemáticas eran vistos como verdades universales, fouded en la lógica pura - hechos acerca de las ideas platónicas.
Excepto que nada de esto era cierto.
Tal vez la primera grieta en la armadura de este clásico de las matemáticas vino con el trabajo de Bolyai y Gauss, la construcción coherente de geometrías donde triángulos se comportó inusualmente (girar, como todos sabemos, en la moderna geometría Hiperbólica), que se filtraba a partir de un cambio en la hasta ahora 'inmutable' axiomas.
Y a partir de aquí el hilo comenzó, que se apresuraron y se hinchó con el tiempo, y la ráfaga de los bancos de las matemáticas como fue: axiomas se convirtió en plástico, que se puede cambiar a voluntad, y con ellos las matemáticas que siguió a partir de ellos. Nuevos conceptos fueron creados, y los conceptos de los conceptos, el enriquecimiento y la ampliación de la matemática paisaje en formas que las generaciones anteriores no podrían haber imaginado.
Paralelo a esta explosión fue la búsqueda de los fundamentos de estos axiomas - los últimos fulgores del platonismo en la obra de Frege, Russell y Whitehead; programa de Hilbert, que parece al principio prometedor, eran espectacularmente micturated por Gödel, teoremas de incompletitud. Y pronto se convirtió en (muy) claro, que cualquier (seguramente) 'ultimate' descripción de matemáticas estaba condenado al fracaso.
El modernismo fuera de las matemáticas se caracteriza por un cierto relativismo - comprensión de diferentes perspectivas puede llevar a diferentes (igualmente válidas) conclusiones. En las matemáticas modernas, uno tiene los reales y el p-adics, euclidiana y no euclidiana geometrías, topologías y métrica espacios, grupos, anillos, álgebras de: conjuntos y mereology - y no podemos reclamar a ser más válida que las demás.
En las matemáticas modernas, nuestras verdades son absolutas, sino contingente, los hijos de los axiomas en un universo pluralista de los posibles postulados.
Por supuesto, algunos podrían decir que 'moderno' significa 'categorías', pero que no es tan limpio - tal vez podamos ajuste categorías de "post-moderno" de alguna manera....
