No hipersuperficie con la extraña característica de Euler

Question

Aquí es un clásico problema que me he encontrado y no podía resolver:

Demostrar que un simple conectado cerrado suave colector no tiene cerrado sub-colector de co-dimensión $1$ con la extraña característica de Euler.

Nota: Cerrado significa compacto y sin límite.

Agradecería cualquier comentario o dirección en la solución de este.

Answer 1

Una co-dimensión 1 sin fronteras, conectado el colector en un simplemente se conecta el colector, se separa en dos componentes: esta es una versión de la generalización de Jordan-Brouwer teorema de separación, y la mayoría de las pruebas de este teorema adaptarse inmediatamente a este caso.

Así que su colector, se $N$ es el límite de dos colectores de $N = \partial W$, $N= \partial V$ y $V \cup W$ es el dado por el simplemente se conecta el colector, y $V \cap W = N$, con $V$ $W$ trayectoria-conectado.

Así que el siguiente paso es probar que si un colector es la frontera de otro colector, su característica de Euler es aún. Hay un montón de diferentes argumentos para ello. Uno sencillo es empezar con $N = \partial V$, y la construcción de la doble $dV$$V$. A continuación,$\chi dV = \chi V + \chi V - \chi N$.

Por lo $$\chi N = 2 \chi V - \chi dV$$

Piense acerca de los diversos casos. Si $N$ es incluso dimensional, $dV$ es impar dimensional, y es cerrado, así que por la dualidad de Poincaré, $\chi dV=0$ y listo.

Si $N$ es impar dimensiones, $\chi N=0$ y listo.

Answer 2

Mi solución después de todo:

Deje $M$ ser nuestro colector de dimensión $m$ y supongamos que $N \subset M$ ser una hipersuperficie. Desde $M$ es simplemente conectado, obtenemos $H^1(M; \mathbb{Z})=0$, por Poincaré-dualidad, podemos también deducir que $H_{m-1}(M ;\mathbb{Z})=0$, lo que muestra que $N$ es un límite $N=\partial U$ donde $U \subset M.$ Ahora, si aplicamos la Lefschetz la dualidad a la par $(U, \partial U)$, obtenemos $\chi (N)=2 \chi (U)$ lo que demuestra la demanda.