Fórmula para proyectar un vector sobre un plano

Question

Tengo un plano de referencia formado por 3 puntos en $\mathbb{R}^3$ - $A, B$ y $C$ . Tengo un cuarto punto, $D$ . Me gustaría proyectar el vector $\vec{BD}$ en el plano de referencia, así como proyectar el vector $\vec{BD}$ en el plano ortogonal al plano de referencia en el vector $\vec{AB}$ . En última instancia, necesito el ángulo entre $\vec{AB}$ y $\vec{BD}$ tanto cuando los vectores se proyectan sobre el plano de referencia como sobre el plano ortogonal. He realizado tutoriales sobre la proyección de un vector sobre una recta en $\mathbb{R}^2$ pero no he averiguado cómo traducirlo a $\mathbb{R}^3$ ...

Tenga en cuenta que el diagrama sólo muestra el plano de referencia como paralelo al $xy$ plano por conveniencia. En mis ejemplos, el plano de referencia puede estar en cualquier orientación. Estoy utilizando datos de coordenadas 3D de un rastreador de movimiento electromagnético y el plano de referencia estará en constante movimiento. Entiendo que el producto cruzado de los dos vectores $\vec{AB} times \vec{BC}$ resulta el vector normal a su plano. Tengo 2 métodos diferentes para calcularlo pero estoy un poco perdido cuando llego a este punto. He visto tanto la notación del vector unitario como la notación del vector columna pero estoy confundido al moverme entre los diferentes estilos. Sería de gran ayuda si pudieras decirme el nombre formal de la notación/ecuaciones que utilizas. Conozco la ecuación escalar de un plano a través del punto $(a,b,c)$ con normalidad $\hat{n} = [n_1, n_2, n_3]$ es:
$$ n_1(x-a) + n_2(y-b) +n_3(z-c) = 0 $$ y la definición de ecuación lineal estándar es: $$ Ax + By + Cz = D $$ pero me vendrían bien algunos consejos sobre cuándo la ecuación es $=D$ y cuando es $=0$ así como cualquier ecuación adicional para un plano y en qué circunstancias son apropiadas las diferentes formas. Espero que haya tenido sentido aquí. Gracias por cualquier ayuda que pueda proporcionar.

Answer 1

Si $A$ , $B$ , $C$ no están en la misma línea, entonces $\vec{AB}\times \vec{BC}$ le dará la dirección de su vector normal del plano de referencia $\hat{n}_1$ . Creo que hay que saber hacer la normalización para que $|\hat{n}_1|=1$

Entonces la proyección de $\vec{BD}$ en el plano de referencia es $\vec{BD}-(\vec{BD}\cdot \hat{n}_1)\hat{n}_1$

Otro avión $\hat{n}_2$ ortogonal al plano de referencia ABC se puede encontrar como $\vec{AB}\times\hat{n}_1$ (de nuevo hay que normalizarlo). A continuación, la proyección de $\vec{BD}$ en ese plano también se puede encontrar de forma similar a la mostrada para el primer plano.

Answer 2

1. Obtenga la ecuación del plano de referencia mediante ${\bf n}:=\vec{AB}\times\vec{AC}$ el lado izquierdo de la ecuación será el producto escalar ${\bf n}\cdot{\bf v}$ donde $\bf v$ es el (vector del origen al) punto variable de la ecuación, y el lado derecho es una constante, tal que, por ejemplo ${\bf v}=A$ tiene que satisfacerla, es decir, la ecuación será

   ${\bf n}\cdot{\bf v}={\bf n}\cdot A\,$ .

2. Calcular las componentes ortogonales y paralelas de $\vec{BD}$ en relación con $\bf n$ : buscamos vectores $\vec{BD}_\perp$ y $\vec{BD}_\| $ tal que $\vec{BD}=\vec{BD}_\perp+\vec{BD}_\| $ , $\ \vec{BD}_\perp\ \perp\ {\bf n}$ y $\ \vec{BD}_\| \,\parallel\,{\bf n}$ .
   Eso significa, $\vec{BD}_\|=\lambda{\bf n}$ para algunos $\lambda\in\Bbb R$ y $\vec{BD}_\perp\cdot{\bf n}=0$ . Utilizando esto y multiplicando escalarmente por $\bf n$ : $$\vec{BD}\cdot{\bf n}=0+\lambda\cdot{\bf n}^2$$ esto le permite calcular $\lambda$ Por lo tanto $\vec{BD}_\|$ entonces $\vec{BD}_\perp:=\vec{BD}-\vec{BD}_\|$ .

3. Haz lo mismo para el otro plano de referencia, (uno de) sus vectores normales será ${\bf n}\times\vec{AB}$ .

4. El ángulo $\varphi$ de vectores ${\bf u}$ y ${\bf v}$ puede calcularse mediante la siguiente fórmula: $$\cos\varphi=\frac{{\bf u}\cdot{\bf v}}{|{\bf u}|\,|{\bf v}|} \,.$$

Answer 3

Que el desplazamiento de $\mathbf{\vec{{v}_{0}{v}_{1}}}$ sea un vector dirigido desde $\mathbf{\vec{v}_{0}}$ a $\mathbf{\vec{v}_{1}}$ definido como $\left(\mathbf{\vec{v}_{1}}-\mathbf{\vec{v}_{0}}\right)$ .

$$\mathtt{\operatorname{Let }}\mathbf{V=\left\{\vec{a},\vec{b}\right\}};$$

"Dejemos $\operatorname{Ortho}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)$ sea la ortogonalización de $\mathbf{\vec{a}}$ en comparación con $\mathbf{\vec{b}}$ sobre $\mathbf{\vec{0}}$ ."

$ \mathbf{\forall\vec{a}\forall\vec{b}}\left(\text{Ortho}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)=\mathbf{\vec{a}}-\text{Proj}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)\implies\mathbf{\forall\vec{v}}\left(\pm\left(\mathbf{\vec{a}}\times\mathbf{\vec{b}}\right)\cdot\mathbf{\vec{v}}=\mathrm{0}\land\mp\left(\mathbf{\vec{b}}\times\mathbf{\vec{a}}\right)\cdot\mathbf{\vec{v}}=\mathrm{0}\land\mathbf{\vec{v}}\in\mathbf{V}\implies\text{Ortho}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)\cdot\mathbf{\vec{v}}=0\land\left(\mathbf{\vec{v}}\in\mathbb{R}^3\implies\text{Ortho}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)\in\mathbb{R}^3\right)\right)\right) $

"Dejemos $\text{Proj}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)$ sea la proyección (lineal) de $\mathbf{\vec{a}}$ en $\mathbf{\vec{b}}$ sobre $\mathbf{\vec{0}}$ ."

$ \mathbf{\forall\vec{a}\forall\vec{b}}\left(\text{Proj}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)=\frac{\mathbf{\vec{a}}\cdot\mathbf{\vec{b}}}{\mathbf{\vec{b}}\cdot\mathbf{\vec{b}}}\mathbf{\vec{b}}\land\mathbf{\vec{b}}\not=\mathbf{\vec{0}}\land\frac{\pi}{2}= \arccos\left(\frac{\left(\mathbf{\vec{a}}-\text{Proj}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)\right)\cdot\left(\mathbf{\vec{b}}-\text{Proj}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)\right)}{\Vert\mathbf{\vec{a}}-\text{Proj}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)\Vert \Vert\mathbf{\vec{b}}-\text{Proj}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)\Vert}\right)\land\left(\mathbf{\vec{b}}\in\mathbb{R}^n\land\mathbf{\vec{a}}\in\mathbb{R}^n\land\mathbf{\vec{0}}\in\mathbb{R}^n\implies\text{Proj}_{\mathbf{\vec{b}}}\left(\mathbf{\vec{a}}\right)\in\mathbb{R}^n\right)\right) $

La fórmula para proyectar un vector sobre un plano.

"Dejemos $\vec{F}\left(\mathbf{\vec{v}},i,\mathbf{\vec{X}}_{i,j}\right)$ sea la ortogonalización de $\mathbf{\vec{v}}$ en comparación con $\mathbf{\vec{X}}_{i,1}$ sobre $\mathbf{\vec{X}}_{i,2}$ ."

$ \therefore\forall \mathbf{\vec{v}}\exists\mathbf{\vec{X}}\left(\mathbf{\vec{X}}\in\left\{\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)},\mathbf{\vec{O}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}\right\}\implies\vec{F}\left(\mathbf{\vec{v}},i,\mathbf{\vec{X}}_{i,j}\right)=\mathbf{\vec{v}}-\text{Proj}_{\left(\mathbf{\vec{X}}_{i,1}-\mathbf{\vec{X}}_{i,2}\right)}\left(\mathbf{\vec{v}}-\mathbf{\vec{X}}_{i,2}\right)\right) $

el codominio trazado de $\vec{F}$ de un trazado aleatorio $\mathbf{\vec{v}}$ sobre una instancia de $\mathbf{\vec{X}}$ .

---

"Un plano de referencia formado por 3 puntos en $\mathbb{R}^3$ ."

Que el plano $\mathbf{P}$ sea una tupla binaria de un constructor normal $\vec{\text{C}}$ utilizando punto(s) de cepillado $\mathbf{\vec{p}}\in\mathbf{V}$ :

$\mathbf{P}= \left(\vec{\text{C}}\left(\mathbf{\vec{p}}\right),\mathbf{\vec{p}}\right)\iff\left(\mathbf{\vec{n}}=\vec{\text{C}}\left(\mathbf{\vec{p}}\right)\implies \mathbf{P}\overset{\text{def}}{=}\forall\mathbf{\vec{v}}\left(\left(\mathbf{\vec{n}}-\mathbf{\vec{0}}\right)\cdot\left(\mathbf{\vec{v}}-\mathbf{\vec{p}}\right)=0\right)\right);$

$\mathtt{\text{Let }}\mathbf{V}=\left\{\vec{A},\vec{B},\vec{C}\right\};$

Dejemos que $\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}$ es una estructura de datos en forma de matriz que contiene todas las posibles implementaciones de planos utilizando todos los vectores en $\mathbf{V}$ dado $\mathbf{P}$ . $$ \mathtt{\text{Let }}\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}= \begin{bmatrix} \left(\frac{(\vec{A}-\vec{C}) \times (\vec{B}-\vec{C})}{\Vert(\vec{A}-\vec{C}) \times (\vec{B}-\vec{C})\Vert}+\vec{C}, \vec{C}\right) \\ \left(\frac{(\vec{A}-\vec{B}) \times (\vec{C}-\vec{B})}{\Vert(\vec{A}-\vec{B}) \times (\vec{C}-\vec{B})\Vert}+\vec{B}, \vec{B}\right) \\ \left(\frac{(\vec{B}-\vec{A}) \times (\vec{C}-\vec{A})}{\Vert(\vec{B}-\vec{A}) \times (\vec{C}-\vec{A})\Vert}+\vec{A}, \vec{A}\right) \\ \left(\frac{(\vec{B}-\vec{C}) \times (\vec{A}-\vec{C})}{\Vert(\vec{B}-\vec{C}) \times (\vec{A}-\vec{C})\Vert}+\vec{C}, \vec{C}\right) \\ \left(\frac{(\vec{C}-\vec{B}) \times (\vec{A}-\vec{B})}{\Vert(\vec{C}-\vec{B}) \times (\vec{A}-\vec{B})\Vert}+\vec{B}, \vec{B}\right) \\ \left(\frac{(\vec{C}-\vec{A}) \times (\vec{B}-\vec{A})}{\Vert(\vec{C}-\vec{A}) \times (\vec{B}-\vec{A})\Vert}+\vec{A}, \vec{A}\right) \end{bmatrix}; $$

Ejemplo: $$\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{2}=\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{2,j}=\left(\frac{(\vec{A}-\vec{B}) \times (\vec{C}-\vec{B})}{\Vert(\vec{A}-\vec{B}) \times (\vec{C}-\vec{B})\Vert}+\vec{B}, \vec{B}\right);$$ $$\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{2,1}=\frac{(\vec{A}-\vec{B}) \times (\vec{C}-\vec{B})}{\Vert(\vec{A}-\vec{B}) \times (\vec{C}-\vec{B})\Vert}+\vec{B};$$

$$\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{2,2}=\vec{B};$$

"El plano ortogonal al plano de referencia en $\vec{AB}$ ."

Dejemos que $\mathbf{\vec{O}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}$ heredan la definición de $\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}$ pero redefine el constructor normal $\vec{\text{C}}\left(\mathbf{\vec{p}}\right)$ implementado en $\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}$ . $$ \mathtt{\text{Let }}\mathbf{\vec{O}_{\mathbf{V}}\left(P\right)} = \begin{bmatrix} \left(\frac{\left(\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{2,1}-\vec{B}\right)\times(\vec{A}-\vec{B})}{\Vert\left(\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{2,1}-\vec{B}\right)\times(\vec{A}-\vec{B})\Vert}+\vec{B}, \vec{B}\right) \\ \left(\frac{\left(\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{3,1}-\vec{A}\right)\times(\vec{B}-\vec{A})}{\Vert\left(\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{3,1}-\vec{A}\right)\times(\vec{B}-\vec{A})\Vert}+\vec{A}, \vec{A}\right) \\ \left(\frac{\left(\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{5,1}-\vec{B}\right)\times(\vec{C}-\vec{B})}{\Vert\left(\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{5,1}-\vec{B}\right)\times(\vec{C}-\vec{B})\Vert}+\vec{B}, \vec{B}\right) \\ \left(\frac{\left(\athbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{6,1}-\vec{A}\right)\times(\vec{C}-\vec{A})}{\Vert\left(\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{6,1}-\vec{A}\right)\times(\vec{C}-\vec{A})\Vert}+\vec{A}, \vec{A}\right) \end{bmatrix}; $$

Proyecto $\vec{BD}$ en el plano de referencia para cualquier $i \in [1,6]$ en $R\left(i\right)$ :

$$ \mathtt{\text{Let }}R\left(i\right)=\begin{Bmatrix} \vec{D}_r=\vec{F}\left(\vec{D},i,\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{i,j}\right), \\ \vec{B}_r=\vec{F}\left(\vec{B},i,\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{i,j}\right), \\ \vec{A}_r=\vec{F}\left(\vec{A},i,\mathbf{\vec{R}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{i,j}\right), \\ \vec{BD}_r=\vec{D}_r-\vec{B}_r, \\ \vec{AB}_r=\vec{B}_r-\vec{A}_r \end{Bmatrix}; $$

Proyecto $\vec{BD}$ en el plano ortogonal para cualquier $i \in [1,4]$ en $O\left(i\right)$ :

$$ \mathtt{\text{Let }}O\left(i\right)=\begin{Bmatrix} \vec{D}_{o}=\vec{F}\left(\vec{D},i,\mathbf{\vec{O}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{i,j}\right), \\ \vec{B}_{o}=\vec{F}\left(\vec{B},i,\mathbf{\vec{O}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{i,j}\right), \\ \vec{A}_{o}=\vec{F}\left(\vec{A},i,\mathbf{\vec{O}_{\mathbf{V}}\left(P\right)}_{i,j}\right), \\ \vec{BD}_{o}=\vec{D}_{o}-\vec{B}_{o}, \\ \vec{AB}_{o}=\vec{B}_{o}-\vec{A}_{o} \end{Bmatrix}; $$

El ángulo entre la proyección de $\vec{AB}$ y $\vec{BD}$ .

mientras se proyecta en el plano ortogonal: $\theta_{A_{o},D_{o}}=\arccos\left(\frac{\vec{AB}_{o}\cdot\vec{BD}_{o}}{\Vert\vec{AB}_{o}\Vert\Vert\vec{BD}_{o}\Vert}\right)\implies\theta_{a_{o},d_{o}}= \arccos\left(\frac{\left(\vec{B}_{o}\vec{A}_{o}\right)\cdot\left(\vec{D}_{o}\vec{B}_{o}\right)}{\Vert\vec{B}_{o}-\vec{A}_{o}\Vert\Vert\vec{D}_{o}\vec{B}_{o}\Vert}\right);$

mientras se proyecta en el plano de referencia: $ \theta_{A_{r},D_{r}}=\arccos\left(\frac{\vec{AB}_{r}\cdot\vec{BD}_{r}}{\Vert\vec{AB}_{r}\Vert\Vert\vec{BD}_{r}\Vert}\right)\implies\theta_{a_{r},d_{r}}= \arccos\left(\frac{\left(\vec{B}_{r}\vec{A}_{r}\right)\cdot\left(\vec{D}_{r}\vec{B}_{r}\right)}{\Vert\vec{B}_{r}-\vec{A}_{r}\Vert\Vert\vec{D}_{r}\vec{B}_{r}\Vert}\right); $