Suma ardua, ardua, laboriosa, onerosa$\sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac1n{\sum\limits_{k=1}^n \frac1k}\right)^3$

Question

ps

Quiero ver a qué converge esto. Obviamente, converge en la inspección.

¿Alguna sugerencia sobre los métodos a utilizar?

Answer 1

$$S:=\sum_{n=1}^\infty\frac{(H_n)^3}{n^3}$$ es convergente ya que los términos son equivalentes a $\,\left(\dfrac{\ln(n)}n\right)^3\,$ $\;n\to \infty\,$ y dado por $$S=\frac {31}{5040}\pi^6-\frac 52\zeta(3)^2\\\approx 2.3009545517005250398$$ No sé completar la prueba, pero podemos empezar con la siguiente clase de Euler sumas : $$s_h(m,n):=\sum_{k=1}^\infty\frac{(H_k)^m}{(k+1)^n}$$ ($H_k$$k$- ésimo número armónico)

y reescribir su suma como : \begin{align} S&=1+\sum_{k=1}^\infty\frac{(H_{k+1})^3}{(k+1)^3}\\ &=1+\sum_{k=1}^\infty\frac{\left(H_k+\frac 1{k+1}\right)^3}{(k+1)^3}\\ &=1+s_h(3,3)+3\,s_h(2,4)+3\,s_h(1,5)+\zeta(6)-1\\ \end{align} El uso de las expresiones tabulados en la $1994$ papel de Bailey, Borwein y Girgensohn "Evaluación Experimental de Euler Sumas" esto se convierte en : $$S=\left(-\frac{33}{16}\zeta(6)+2\,\zeta(3)^2\right)+3\,\left(\frac 23\zeta(6)-\frac 13\zeta(2)\zeta(4)+\frac 13\zeta(2)^3-\zeta(3)^2\right)\\+3\,\left(\frac 52\,\zeta(6)-\frac 12(2\,\zeta(4)\zeta(2)+\zeta(3)^2)\right)+\zeta(6)$$

$s_h(3,3)$ fue sólo un resultado experimental cuando el papel que inicialmente parecía, pero ha demostrado desde entonces (como se indica en la nota actualizada). De todos modos, de una manera más directa derivación debe seguir siendo de interés !

Las pruebas relativas a $\;\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{(H_n)^2}{n^2}\;$ se proporcionan aquí.

Answer 2

Converge muy rápidamente, así que usar una computadora puede darle la suma.

Por ejemplo en R

 n <- 1:2^20
H <- cumsum(1/n)
S <- cumsum((H/n)^3)
S[2^20]
 

Da sobre 2.300955 aunque sospecho que es de hecho un poco más de$2.30095455$.

Alternativamente utilice una buena expansión de los números armónicos, pero dudo que esto sería mucho más informativo.