Tengo problemas en el llenado de los detalles de la prueba en las Estimaciones sobre los derivados, a partir de la página 29 de la PDE Evans, 2ª edición. Es decir, estoy perdido en algunos pasos. El libro da:
Teorema 7 (Estimaciones sobre el uso de derivados). Suponga que u es armónica en U. Entonces \begin{align} |D^\alpha u(x_0)| \le \frac{C_k}{r^{n+k}} \|u\|_{L^1(B(x_0,r))} \tag{18} \end{align} para cada bola de $B(x_0,r) \subseteq U$ y cada multiindex $\alpha$ orden $|\alpha| = k$.
Aquí \begin{align} C_0 = \frac{1}{\alpha(n)}, C_k = \frac{(2^{n+1}nk)^k}{\alpha (n)} \text{ for } k=1,2,\ldots \tag{19} \end{align}
Prueba. 1. Establecemos $(\text{18}), (\text{19})$ por inducción en $k$, con el caso de $k=0$ inmediata del valor medio de la fórmula $u(x) = \frac{1}{\alpha(n)r^n} \int_{B(x_0,r)} u \, dx = \frac{1}{\alpha(n)r^{n-1}} \int_{\partial B(x,r)} u \, dS$ (que denotan los valores promedio de $u$ sobre la bola y la esfera, respectivamente).
Para $k = 1$, se nota en la diferenciación de Laplace de la ecuación que $u_{x_i}$ ( $i=1,...n$ ) es armónica. En consecuencia,
\begin{align} \left|u_{x_i}(x_0)\right| &= \left|\frac{1}{\alpha(n) (\frac{r}{2})^n} \int_{B(x_0,\frac{r}{2})} u_{x_i} dx\right| \tag{20} \\ &= \left|\frac{2^n}{\alpha(n) r^n} \int_{B(x_0,\frac{r}{2})} u_{x_i} dx\right| \\ &= \left|\frac{2^n}{\alpha(n) r^n} \int_{\partial B(x_0,\frac{r}{2})} u \nu_i dS\right| \\ &\le \frac{2n}{r} \|u\|_{L^\infty(\partial B(x_0,\frac{r}{2})} \end{align}
Ahora si $x \in \partial B(x_0,\frac{r}{2})$,$B(x,\frac{r}{2}) \subseteq B(x_0,r) \subseteq U$, y así \begin{align} |u(x)| \le \frac{1}{\alpha(n)} \left(\frac{2}{r}\right)^n \|u\|_{L^1(B(x_0,r))} \end{align} por (18), (19) por $k=0$. La combinación de las desigualdades anteriores, obtenemos \begin{align}|D^\alpha u(x_0)| &\le \frac{2^{n+1}n}{\alpha(n)} \frac{1}{r^{n+1}} \|u\|_{L^1(B(x_0,r))} \\ &= \frac{2^{n+1}n}{r^{n+1}} \|u\|_{L^1(B(x_0,r))} \\ \end{align} si $|\alpha| = 1$. De esta forma se comprueba $(\text{18})$$(\text{19})$$k = 1$.
(Hay una segunda parte de esta prueba para $k \ge 2$, pero creo que puedo entender que por mi propia cuenta, una vez que comprendo plenamente $k=1$.)
Tuve grandes problemas para la comprensión de todos los pasos que implican desigualdades (con la $\le$), a pesar de que estoy totalmente de entender la igualdad de pasos (=). Me pueden buscar ayuda en la comprensión de cómo estas desigualdades se obtiene y cómo son verdaderas? (Creo que Evans le gusta saltar un montón de pasos...)
- $\displaystyle \left|\frac{2^n}{\alpha(n) r^n} \int_{\partial B(x_0,\frac{r}{2})} u \nu_i dS \right| \le \frac{2n}{r} \|u\|_{L^\infty(\partial B(x_0,\frac{r}{2})}$
- $\displaystyle |u(x)| \le \frac{1}{\alpha(n)} \left(\frac{2}{r}\right)^n \|u\|_{L^1(B(x_0,r))}$
- $\displaystyle |D^\alpha u(x_0)| \le \frac{2^{n+1}n}{\alpha(n)} \frac{1}{r^{n+1}} \|u\|_{L^1(B(x_0,r))}$
Me gustaría mostrar mi trabajo intento en el llenado de los detalles de estas relaciones, sino que son un desastre y que probablemente no sea útil. Pero espero que lo dado anteriormente será suficiente. (Tan lejos como sólo la igualdad se refiere, he intentado añadir un poco más de detalle los pasos de la anterior prueba de lo que es originalmente presentado por el libro de texto.)
