Zee ' uso del producto de Kronecker en "QFT en una cáscara de nuez" para representar matrices de Dirac

Question

En su libro la Teoría Cuántica en una cáscara de Nuez (2ª edición, pág. 94), Zee describe la Dirac gamma matrices y listas de representación mediante matrices de Pauli y la matriz de identidad. Por ejemplo escribe

$$ \gamma^0 = \begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}= I\otimes \tau_3,$$

donde (supongo que) $\tau_3 = \sigma_3 = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ es la tercera de la matriz de Pauli. Sin embargo, cuando miro la definición del Producto de Kronecker, $\otimes$, o pregunte a wolframalpha para que el producto este debe ser

$$ \gamma^0 = \begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}= \tau_3\otimes I .$$

Desde Zee es consistente en invertir el orden de los operandos en la siguiente página, supongo que no es un error tipográfico.

Puede alguien explicar por qué (parece) Zee, se invierte el orden de los operandos? Es esta una convención diferente para la definición de $\otimes$ o lo tiene que hacer con él a $\tau_i$ en lugar de $\sigma_i$ para las Matrices de Pauli?

Answer 1

El pedido de producto tensor factores en la matriz de representaciones es en última instancia una convención: no hay una sola forma canónica a fin de que el producto tensor base ($|{\uparrow\downarrow} \rangle$vienen antes o después de la $|{\downarrow\uparrow} \rangle$?) y los diferentes ordenamientos se producen diferentes matriz de representaciones.

Has encontrado las dos posibilidades, y ambos son igualmente razonables (aunque en ámbitos más directamente conectados con la información cuántica, el cómputo de base tienden a tener un canónica de pedidos mediante la asignación en los números binarios, es decir,$|01 \rangle$$|10\rangle$). En caso de duda, consulte a la base de pedidos en uso.

En la Zee del caso, la base de pedidos obtiene únicamente establece como $\{|{\uparrow\uparrow}\rangle, |{\downarrow\uparrow}\rangle, |{\uparrow\downarrow}\rangle, |{\downarrow\downarrow}\rangle\}$ (es decir, opuesto a la base computacional, que se despliega en el lado derecho primero) en el comienzo de el Álgebra de Clifford sección (eq. (3) en el capítulo II, en la edición de 2003), a través de la ecuación que usted cita, y luego continúa con la notación consistente en toda la sección. Por otra parte, el texto también confirma explícitamente que $\sigma$ $\tau$ tanto para denotar el estándar de las matrices de Pauli; esto parece ser una anotación dispositivo utilizado para la claridad (que no está normalizada como lo que yo sé), como el texto restringe $\sigma$ a el lado izquierdo del producto tensor y $\tau$ a la derecha del factor.

Answer 2

Estás en lo correcto de que el producto de Kronecker es no conmutativa (aunque los dos son de permutación equivalente), y comúnmente se define de forma tal que $\tau_3 \otimes I$ es el correspondiente pedido.

Después de haber comprobado la fe de erratas de la Teoría Cuántica de campos en pocas palabras, no se han incluido, como no ha sido señalado, o en otro convenio ha sido adoptado de forma implícita.

Otras fuentes de acuerdo con el orden en Mathematica, así como de otros sitios, tales como Schafer Una Introducción para no asociativo Álgebras.