La pregunta puede ser reducido a la evaluación de la probabilidad de $\mathbb{P}(\hat{\sigma}_D < L)$ donde $L>0$ es conocido. Es suficiente para calcular la CDF de $\hat{\sigma}_D$. Por desgracia, no aparece de forma cerrada existe.
Parte 1. Llamamos a datos secundarios el ruido sólo medidas. Son una secuencia $\{ y_1, \dots, y_n \}$ tal que $y_i = n_i$ $i=1,\dots,n$ donde $n_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_N)$ son yo.yo.d. gauss variables aleatorias (RVs), también conocido como ruido. De estándar de la teoría de la estimación, (ver nota)
$$
\hat{\sigma}^2_N = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^2
$$
es el MLE (Estimador de Máxima Verosimilitud) de $\sigma^2_N$ y sigue un $\chi^2$ distribución $n$ grados de libertad. Más precisamente:
$$
n \frac{\hat{\sigma}^2_N}{\sigma^2_N} \sim \chi^2_{n}
$$
Deje $z_i$ denotar primaria de datos (señal+ruido). Tenemos que
$z_i = x_i + w_i$ $i=1,\dots,n$ , donde: $x_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_D)$ representa el dispositivo, $w_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2_N)$ es el ruido, independiente de la $x_i$$n_i$. De nuevo,
$$
\hat{\sigma}^2_M = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n z_i^2
$$
a partir de la cual
$$
n \frac{\hat{\sigma}^2_M}{\sigma^2_M} \sim \chi^2_n
$$
Nota: no es necesario restar la media de la muestra $\bar{y}$ ya que sabemos que $\mathbb{E}[y_i] = 0$. Si usted utiliza actualmente.
$$
\tilde{\sigma}^2_N = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar{y})^2
$$
esto no es ML más. Todavía es $\chi^2$ de la distribución, pero con $(n-1)$ grados de libertad. Más precisamente, $(n-1)s^2 / \sigma^2 \sim \chi^2_{n-1}$ donde $s^2$ el imparcial de la varianza de la muestra, que se define como: $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2$. La matemática precisa instrucción que sigue a partir del teorema de Cochran.
Parte 2. Sabemos que $\rm Var[z_i] = Var[x_i] + Var[w_i]$, por lo que podemos calcular
$$
\hat{\sigma}^2_D = \hat{\sigma}^2_M - \hat{\sigma}^2_N
$$
Esencialmente, ahora tenemos que calcular la CDF de la diferencia entre dos independientes $\chi^2$ RVs, lo cual no es trivial. Esto se complica por el hecho de que algunos de los coeficientes son necesarios para hacer las cosas bien. Tenemos que usar el siguiente resultado.
Lema. Deje $X,Y$ dos independientes $\chi^2_n$. El PDF de $Z=X-Y$ está dado por
$$
f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{\pi} 2^{n/2}} \frac{1}{\Gamma \Big( \frac{n}{2} \Big)} |z|^{(n-1)/2} K_{\frac{n-1}{2}}\Big( |z| \Big)
$$
donde $K(\cdot)$ es la función Bessel modificada de segunda clase y $\Gamma(\cdot)$ es la función Gamma.
Prueba. Vea aquí.
Denota el PDF de $\hat{\sigma}^2_D$$f_Z(z)$, el CDF está dada por
$$
\mathbb{P}(\hat{\sigma}^2_D \leq t) = F_Z(t) = \int_{-\infty}^t f_Z(z) dz
$$
Desde $\hat{\sigma}_D = \sqrt{\hat{\sigma}^2_D}$, la solución es
$$
\mathbb{P}(\sqrt{\hat{\sigma}^2_D} < L) = \mathbb{P}(\hat{\sigma}^2_D < L^2) = F_Z(L^2) = \int_{-\infty}^{L^2} f_Z(z) dz
$$
cual es la probabilidad de que el dispositivo es compatible.
ADDENDUM. Para responder a la precisión de la pregunta, definir la relación Señal-a-Ruido (SNR) de la siguiente manera
$$
SNR = \frac{\sigma^2_D}{\sigma^2_N}
$$
que se puede calcular utilizando los valores estimados (uso de grandes valores de $n$, ya que, idealmente, usted desea tener a $n \rightarrow +\infty$). SNR es una medida útil. En primer lugar, $SNR \geq 0$ siempre. En segundo lugar, en el límite de $\sigma^2_N \rightarrow +\infty$ (infinitamente poderoso ruido), tenemos $SNR=0$, mientras que $\sigma^2_D \rightarrow +\infty$ (infinitamente poderosa señal) implica $SNR=+\infty$. En otras palabras, el más grande de la SNR, el mejor.
SNR es una métrica cuantitativa vinculada a la exactitud de las mediciones. A veces, usted verá un umbral basado en el enfoque para definir la "precisión": si $SNR \geq \gamma$ donde $\gamma>0$ es arbitrariamente decidió (por ejemplo,$\gamma = 10^3$), entonces la etiqueta de los resultados como `exacta", inexacta de lo contrario. Pero este enfoque es erróneo, ya que la exactitud es tratada como un valor binario, que es demasiado simplista.
Un mejor enfoque es el de calcular
$$
\eta = 1 - \frac{1}{SNR +1}
$$
Por qué y cómo funciona esto? Para $SNR=0$ (infinitamente poderoso ruido o señal cero), $\eta=0$. Para $SNR=+\infty$ (cero ruido o infinitamente poderoso de la señal), $\eta=1$. Así que, claramente, $\eta \in [0,1]$, con valores extremos tomarse sólo bajo condiciones de limitación. Si ahora se utiliza $a_{[\%]} = 100\eta$, se puede interpretar $a_{[\%]}$ directamente de la precisión de la misma, expresado en porcentaje. Así, por ejemplo, $\eta=0.9$ implica que el 90% de las medidas exactas, mientras que $\eta=0.1$ implica bastante impreciso medidas. Esto nos da una medida cuantitativa de la precisión de nuestras medidas, que también es sencilla de calcular y intuitivamente atractivo.
