Todos los términos de esta secuencia son iguales a 1

Question

¿Alguien sabe si el siguiente resultado es verdadero?

Deje $x_{n}$ ser una secuencia, de tal manera que $x_{n+1}= \dfrac{nx_{n}^2+1}{n+1}$ $x_n>0$ todos los $n$.
No es un entero positivo $N$ tal que $x_n$ se entero por todos los $n>N$.
De lo anterior se sigue que el $x_n=1$ para todos los enteros positivos $n$?

Traté de demostrar que $x_1 \equiv 1 \text{(mod p)}$ para todos los números primos $p$, pero no podía hacer ningún progreso.

Estoy en busca de una prueba o de cualquier referencia de este resultado.
Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

No lo hace. El primer término (si $n=0$ o $n=1$) podría ser $-1$ y todos los demás sería $1$