Por qué Green ' s teorema requieren derivadas parciales continua

Question

Mi libro (Stewart Esenciales del Cálculo) de los estados Verde del Teorema de la siguiente manera:

Deje $C$ ser una orientación positiva, seccionalmente suave, simple curva cerrada en el plano y deje $D$ ser la región delimitada por $C$. Si $P$ $Q$ han continuo derivadas parciales en un territorio abierto que contiene a$D$, $$\int_C P \,dx+Q\,dy =\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right)dA $$

Mi pregunta es ¿por qué son las derivadas parciales necesarios para ser continua?

He visto un par de ejemplos de los Verdes Teorema no funciona cuando las derivadas parciales no existen, pero que no parecen encontrar uno cuando las derivadas parciales tienen una discontinuidad.

Mi primera idea es que el requisito de la continuidad asegura que no "kinks" en el campo de vectores de ocurrir, pero entonces me encontré con el teorema de Darboux que parece asegurar que la discontinuo derivados nunca tendrá este problema.

Espero una comprensión técnica de los detalles de Verde del Teorema de estar fuera de mi alcance en la actualidad (mi libro no incluir una prueba plena) pero, ¿hay alguna intuitiva justificación de la continuidad requisito en los derivados?

Answer 1

La continuidad de las derivadas parciales es fuerte condición suficiente.

Considere la más simple prueba del teorema de Green para una región rectangular $D = [a,b] \times [c,d]$. Un paso es mostrar que (con $P_y := \frac{\partial P}{\partial y}$)

$$\tag{*}\oint_C P(x,y) \, dx = -\int_D P_y(x,y) \, dA,$$

lo que se reduce a

$$\int_a^b P(x,c) \, dx - \int_a^b P(x,d) \, dx = -\int_a^b \int_c^d P_y(x,y) \, dx \, dy = -\int_a^b \left(\int_c^d P_y(x,y) \, dy\right) \, dx$$

Tenemos que estar seguros de que podemos evaluar la integral doble como un iterado único integral en cualquier orden y tenemos que aplicar el teorema fundamental del cálculo para obtener

$$\int_c^d P_y(x,y) \, dy = P(x,d) - P(x,c),$$

demostrar que (*) es verdadera.

Todos estos pasos pueden estar justificadas si las derivadas parciales son continuas.

Sin embargo, hay más general de la forma de Verde del teorema de Lebesgue integrales que sólo requiere que el $P$ $Q$ ser absolutamente continuas. En este caso, las derivadas parciales existen en casi todas partes, son integrables, y el teorema fundamental aún mantiene incluso aunque los derivados de la necesidad de no ser continua en todas partes.

Por ejemplo, observamos que el Verde del teorema aún mantiene $D = [0,1] \times [0,1]$ y

$$P(x,y) = 0 \\ Q(x,y) = \begin{cases}yx^2\sin(1/x), \, \, x \neq 0 \\ 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x = 0 \end{cases}$$

aunque $\frac{\partial Q}{\partial x}$ no es continua en a $\{(x,y): x = 0, 0 < y \leqslant 1 \}$.