Determinar si la serie converge o diverge.

Question

Determinar si la serie converge o diverge.

$$ \sum _ {n = 1} ^ {\infty} \:\left(\frac{19}{n!} \right) $$

Sé que esta pregunta mucho más fácil si yo uso prueba de razón pero no he aprendido todavía prueba de razón. La única opción que tengo es divergencia, comparación, límite de comparación y prueba integral. Cómo puedo demostrar que esta serie converge usando las pruebas limitadas.

Gracias de antemano.

Answer 1

$$ \sum _ {n = 1} ^ {\infty} \frac{19}{n!} = 19\sum _ {n = 1} ^ {\infty} \frac{1}{n!} = 19\Bigl (\frac {1} {1}. + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dotsb\Bigr)\\= 19\Bigr(-\frac{1}{0!} + \underbrace{\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dotsb}_{e}\Bigr)=19(-1+e)$ $

Answer 2

Entonces utilice el hecho de que $(\forall n\in\mathbb{N}\setminus\{2,3\}):\frac{19}{n!}\leqslant\frac{19}{n^2}$ y aplicar la prueba integral para demostrar que $\sum_{n=1}^\infty\frac{19}{n^2}$ converge.

Answer 3

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{19}{n!}=19\left(1+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n!}\right)<19\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\right)=$ $ $$=19\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right)=19(1+1)=38.$ $ Así, la serie converge.

Answer 4

Olvídate de la constante $19.$ tenga en cuenta que en $n!$ usted tiene $n-1$ factores, cada uno de ellos es así de $\ge 2.$$n! \ge 2^{n-1} \implies 1/n! \le 1/2^{n-1}.$usar el test de comparación.

Answer 5

Utilizar entonces desigualdad $$ n! > 2^n, \ n\geqslant 4.$ $ de $n\geqslant 4$ % $ $$\frac{1}{n!} < \frac{1}{2^n},$lo $$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{19}{n!} = 19\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n!} < 19\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \sum_{n=4}^{\infty }\frac{1}{2^n} \right)=19\left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{8}\right).$ $