Demostrar que existe un alto $p$ tal que $p \mid a^n-b^n$ y $p > n$

Question

Sea $1 < b < a$ enteros positivos relativamente privilegiadas y $n > 2$ un entero positivo. Demostrar que existe un alto $p$ tal que $p \mid a^n-b^n$ y $p > n$.

Pensé en usar Teorema de Zsigmondy. Entonces tenemos $$p_1 \mid a-b,p_2 \mid a^2-b^2,a^3-b^3,p_3 \mid a^4-b^4,\ldots$$ where $ p_i \nmid una ^ b k ^ k $ for $k < i $. I didn't see how to use this to find a prime such that $p > n$.

Answer 1

Desde @ThomasAndrews no ha escrito una respuesta, voy a poner su respuesta (que es en los comentarios) aquí. Deje $p$ ser un número primo, entonces tenemos tres casos $$\begin{array}{c} p\mid a^{p-1}-b^{p-1} \\ \text{or} \\ p\mid a\;\text{ and }\; p\nmid b \\ \text{or} \\ p\nmid a \;\text{ and }\; p\mid b \end{array}$$ Donde el caso se sigue de Fermat Poco Teorema de al $p\nmid a$ $p\nmid b$ y es trivial si $p\mid a$$p\mid b$; los dos últimos casos son el resto de opciones. Ahora supongamos que $p\mid a^n-b^n$. Entonces sabemos que el $p$ cumple el primer caso anterior, porque si $p\mid a$ pero $p\nmid b$, luego tenemos a$a^n-b^n\equiv 0\mod p\Rightarrow b^n\equiv a^n\equiv 0\mod p$, sin embargo, que da $p\mid b^n$ lo cual es falso cuando $p\nmid b$ (argumento similar al $p\mid b$ pero $p\nmid a$). Así $$p\mid a^n-b^n\Rightarrow p\mid a^{p-1}-b^{p-1}$$ Ahora supongamos que todos los factores primos de a $a^n-b^n$ se $\le n$, luego el de arriba nos dice que $a^n-b^n$ no tiene factores primos no se comparte con $a^k-b^k$ todos los $k<n$, ya que cada factor primo, $p$ $a^n-b^n$ brecha $a^{p-1}-b^{p-1}$ donde $p-1<n$. Sin embargo, esto es una violación de Zsigmondy del Teorema, y por lo tanto no debe existir un primer factor de $a^n-b^n$$>n$.