Encontrar todos los primos que $p^p - 2$ es un cuadrado perfecto

Question

Encontrar todos los primos que $p^p - 2$ es un cuadrado perfecto. Que $p^p-2=a^2.$

Sabemos que $a^2 \equiv 0,1\pmod{3}$

Si $a^2 \equiv 1\pmod{3}$, entonces el $p^p \equiv 0\pmod{3}\implies p=3$ que es una solución.

Ahora, si $a^2 \equiv 0 \pmod{3},$ y $p^p \equiv 2\pmod{3}$.

Teorema de Fermat, es coprimo a $p^p \equiv p \pmod{3}$ $p$ $3$.

Así pues, tenemos $p$ es de la forma $3k+2.$

Pero, ¿qué hacer?

Answer 1

Observe que para $p\neq 3$ debe $p=9k+t$ donde $t\in\{1,2,4,5,7,8\}$ también debemos tener ese $p=6n+1$ o $p=6n+5$ desde $p\neq 2,3$.

Ahora, por el teorema de Euler $t^6=1\pmod{9}$ si $p=6n+1$ tenemos que $$(9k+t)^{6n+1}\equiv t\pmod{9}$$ since the only $t$ such that $t-2$ is a quadratic residue mod $9$ is $t=2$ we must have $t=2$ but $6n+1\neq 9k+2$ por lo tanto no hay soluciones.

Si $p=6n+5$ tenemos que $$(9k+t)^{6n+5}\equiv t^5\pmod{9}$$ La única $t$ tal que $t-2$ es una ecuación cuadrática de residuos de mod $9$ $t=5$ $p=9k+5$ esto implica que el número es de la forma$p=18q+5$, pero de nuevo por el teorema de euler $$(18q+5)^{18q+5}$$ En busca de mod $4$ vemos que $q$ debe ser por lo $(36q+5)^{36q+5}$ Ahora mirando mod $108$ y el uso de Euler tenemos que $$(36q+5)^{36q+5}\equiv (36q+5)^5\equiv 65,29,101\pmod{108}$$ Pero $x^2+2\not \equiv 65,29,101\pmod{108}$ o de otra manera $x^2\not\equiv 63,27,99$