Probando la distribución Chi cuadrado

Question

Tengo algunos problemas para resolver el siguiente problema:

Sea una muestra aleatoria, $X = (X_1, X_2,\ldots, X_n)$, donde $X_{i} \sim N(\mu, \sigma^{2})$. Muestran que:

$$U:= \frac{n-1}{\sigma^2} S^2 \sim \chi^2 (n-1); \text{ where } S^2:= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2.$$

¿Es necesario demostrar primero que la estadística, la media de la muestra, es suficiente? ¿O Mostrar la independencia a través del teorema de Basu?

¡Gracias por cualquier ayuda!

Answer 1

Si $\sigma^2$ es "conocido", entonces la media de la muestra es suficiente. En otras palabras, para la familia de distribuciones que usted consigue dejando $\mu$ variar con $\sigma^2$ fijo, la media de la muestra es suficiente. Pero Basu del teorema se basa en la integridad, de manera que tendría que demostrar integridad antes de saber que Basu del teorema es aplicable. Creo que se podía hacer de esa manera, pero no he trabajado en los detalles.

Pero para demostrar la independencia de $\overline X$$S^2$, puede trabajar primero en probar estas dos variables aleatorias son independientes el uno del otro: $$ \overline X \quad \text{y} \quad \left[ \begin{array}{c} X_1 - \overline X \\ \vdots \\ X_n - \overline X \end{array} \right]. \tag 1 $$ Que no requiere de Basu del teorema. Trate de encontrar las covarianzas.

Pero su pregunta inicialmente formulada de la pregunta acerca de algo distinto de la independencia, es decir, la distribución de $S^2$. No sé por qué habría que pensar Basu del teorema podría ayudar con eso.

La asignación que toma el vector $$ \left[ \begin{array}{c} X_1 \\ \vdots \\ X_n \end{array} \right] \tag 2 $$ para el vector en $(1)$ es la proyección ortogonal sobre un $(n-1)$-dimensional en el subespacio, y se asigna el valor esperado $$ \left[ \begin{array}{c} \mu \\ \vdots \\ \mu \end{array} \right] $$ para un vector de $n$ ceros. La distribución de $(2)$ es esféricamente simétrica en $n$ espacio; por lo tanto es el mismo que el de la distribución de $[ U_1,\ldots, U_n]^T$, donde el vector que expresa el vector $(1)$ con respecto a una determinada alternativa base de $\mathbb R^n$. Que la base alternativa consiste en $n-1$ mutuamente ortogonal de vectores unitarios en el espacio en el que uno está proyectando, y un vector unitario en un ángulo recto. Con respecto a la base, a la proyección de $$ \left[ \begin{array}{c} U_1 \\ U_2 \\ U_3 \\ \vdots \\ U_n \end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array}{c} 0 \\ U_2 \\ U_3 \\ \vdots \\ U_n \end{array} \right]. $$ El primer componente se convierte simplemente en $0$ y el resto son iguales. Por lo tanto, tenemos $$ (X_1-\overline X)^2 + \cdots + (X_n - \overline X)^2 = \underbrace{U_2^2 + \cdots + U_n^2}_\text {, comenzando con 2, no 1}. $$ Así $$ \frac 1 {\sigma^2} (U_2^2 + \cdots + U_n^2) \sim \chi^2_{n-1}. $$