Creo que esto es bien conocido, pero no puedo encontrar una prueba en cualquier lugar. Cualquier ayuda es apreciada. Si $f(x)$ es monic irreducible de grado $\mathbb{F}_p[x]$, entonces el $m$ $f(x)|(x^{p^m}-x)$.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Berci
Puntos
42654
Si usted considera el anillo cociente del $K:=\Bbb F_p[x]/(f)$, esta es una extensión de campo de $\Bbb F_p$ $m$ de grado.
Cumple con cada elemento $\alpha$ de una extensión de #% de grado $m$$\Bbb F_p$% #%.
En otras palabras, es de $\alpha^{p^m}=\alpha$ $x^{p^m}-x$ $0$, pero eso significa que el $K$.
Sugerencias: supongamos que $f(x)$ tiene el grado $m$, y deje $\alpha$ ser una raíz de $f(x)$.
¿Qué es $[\mathbb{F}_{p}(\alpha):\mathbb{F}_{p}]$? (esto denota la dimensión de $\mathbb{F}_{p}(\alpha)$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_{p}$) En términos más explícitos, cómo muchos de los elementos no $\mathbb{F}_{p}(\alpha)$?
Recordemos que cualquiera de los dos campos finitos del mismo tamaño son isomorfos.
Lo que es cierto acerca de cada elemento del campo $\mathbb{F}_{p^{m}}$? Se puede pensar de un polinomio para que cada elemento de a $\mathbb{F}_{p^{m}}$ es una raíz?
Por último, desde el $f(x)$ es el polinomio mínimo de a $\alpha$ (es monic y irreductible, y ha $\alpha$ como root), y el mínimo de polinomio debe dividir cualquier otro polinomio que ha $\alpha$ como una raíz, lo que debe ser la verdad?
(Tenga en cuenta que siguiendo esta lógica, con una ligera variación en el segundo paso, demostrar una declaración más fuerte: que si $f(x)$ es monic y irreducible de grado $n|m$,$f(x)|x^{p^{m}}-x$. En su lugar, tenga en cuenta que $\mathbb{F}_{p}(\alpha) \cong \mathbb{F}_{p^{n}} \subset \mathbb{F}_{p^{m}}$, y el resto sigue.)
