$\mathfrak{g}$ es un álgebra de Lie semisimple finito-dimensional sobre un campo $k$ $\mathrm{char}k=0$. $J(\mathfrak{g})$ es el aumento ideal de $\mathfrak{g}$. Es decir, el núcleo de $U(\mathfrak{g})\rightarrow k$. La solución de $H^2(\mathfrak{g},J(\mathfrak{g}))\neq0$ muestra que una declaración similar de lema segundo de Whitehead no sostener para el módulo de $\mathfrak{g}-$ dimensional infinito. (Lema segundo de Whitehead: con las hipótesis arriba, $H^2(\mathfrak{g},M)=0$ si $M$ es un módulo de $\mathfrak{g}-$ dimensional finito).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Mr Rowing
Puntos
54
Esto es falso. Aquí copio mi respuesta en la pregunta MO vinculado por Grigory arriba: consideremos el ejemplo de $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$, y que $J$ ser el aumento ideal de $U(\mathfrak{g})$. En primer lugar $H^2(\mathfrak{g}, J) = \operatorname{Ext}^2_{U(\mathfrak{g})}(k,J) \cong \operatorname{Ext}^1_{U(\mathfrak{g})}(J,k)$ por corolario 7.2 de Auslander-Gorenstein anillos Ajitabh, Smith y Zhang. Entonces dimensión cambio $\operatorname{Ext}_{U(\mathfrak{g})}^1(J,k) = \operatorname{Ext}_{U(\mathfrak{g})}^2(k,k)$ que es cero por los lemas de Whitehead.
