Es esta curva 3D de un círculo?

Question

La siguiente es una curva en $3$ dimensiones:

$$\begin{eqnarray} x & = & \cos(\theta) \\ y & = & \cos(\theta - \pi/3) \\ z & = & \cos(\theta - 2\pi/3) \end{eqnarray}$$

Es la curva de un círculo?

Si es así, ¿qué acerca de esta curva en $4$ dimensiones?

$$\begin{eqnarray} x & = & \cos(\theta) \\ y & = & \cos(\theta - \pi/4) \\ z & = & \cos(\theta - 2\pi/4) \\ w & = & \cos(\theta - 3\pi/4) \end{eqnarray}$$

No sé si existe algo así como un círculo en $4$-D. Si la hay, es este de la curva de la $4$-D versión de un círculo?

P. S.: Es de dos dimensiones el subespacio generalizado avión? Quiero aprender más sobre esto. ¿Qué debo leer?

Answer 1

Aquí es un simple tratamiento de la $n$-dimensional caso, donde el punto de la curva es$\vec x = (x_0, \ldots, x_{n-1})$$x_i = \cos(\theta-\pi i/n)$.

1. La curva se encuentra en una esfera.

   Tenemos $x_i^2 = \cos^2(\theta-\pi i/n) = \frac12+\frac12\cos(2\theta-2\pi i/n)$. Así $$\|\vec x\|^2 = \sum x_i^2 = \frac n2 + \frac12 \sum \cos(2\theta-2\pi i/n).$$ The latter term is zero because it is the sum of $n$ equally spaced sinusoids (it is equivalently the $x$-component of the sum of $n$ unit vectors equally spaced along the unit circle, or the real part of the sum of the $n$th roots of $e^{2n\theta\sqrt{-1}}$; in either case, the entire thing is zero by symmetry). So $\|\vec x\|^2$ is a constant, $\frac n2$, independent of $\theta$.

2. La curva se encuentra en una de dos dimensiones en el subespacio.

   Tenemos $x_i = \cos(\theta-\pi i/n) = a_i\cos\theta + b_i\sin\theta$ fijos $a_i$ $b_i$ independiente de $\theta$. A continuación,$\vec x = \vec a\cos\theta + \vec b\sin\theta$. Por lo $\vec x$ se encuentra en las dos dimensiones subespacio generado por $\vec a$$\vec b$.

Por lo tanto, $\vec x$ se encuentra en la intersección de una esfera en $n$ dimensiones y una de dos dimensiones en el subespacio, es decir, una esfera en dos dimensiones, también conocido como un círculo.

Answer 2

Si el uso básico de identidades trigonométricas, puede mostrar el primer conjunto de tres ecuaciones es un pedazo de este plano: $y-z=x$.

Answer 3

Utilizando identidades trigonométricas, obtenemos $$\cos(\theta-\frac\pi3) = \cos\theta\cos\frac\pi3+\sin\theta\sin\frac\pi3=\frac12\cos\theta+\frac12\sqrt3\sin\theta,$$ $$\cos(\theta-\frac{2\pi}3) = \cos\theta\cos\frac{2\pi}3+\sin\theta\sin\frac{2\pi}3=-\frac12\cos\theta+\frac12\sqrt3\sin\theta.$$ Así, si escribimos $\gamma=(x,y,z)$ obtenemos $\gamma = v_1\cos\theta + v_2\sin\theta$$v_1=(1,\frac12,-\frac12)$$v2=(0,\frac12\sqrt3,\frac12\sqrt3)$. Así, tenemos al menos una elipse. Por otra parte, es fácil comprobar que $v1\cdot v2=0$. Además, $v_1^2 = 1 + \frac14+\frac14=\frac32$$v_2^2=\frac34+\frac34=\frac32$; por lo tanto los vectores son ortogonales y de igual longitud, y por lo tanto es de hecho un círculo.

En el caso general, tenemos $(v_1)_k = \cos \frac{(k-1)\pi}d$ $(v_2)_k=\sin \frac{(k-1)\pi}d$ donde $d$ es la dimensión del espacio vectorial ($d=4$ en el segundo caso). Así, $$v_1\cdot v_2 = \sum_{k=1}^d\cos\frac{(k-1)\pi}d\sin\frac{(k-1)\pi}d = \frac12\sum_{k=1}^d\sin\frac{(k+1)2\pi}{d} = 0$$ and $$v_2^2-v_1^2 = \sum_{k=1}^d\left(\cos^2\frac{(k+1)\pi}d-\sin^2\frac{(k+1)\pi}d\right) = \sum_{k=1}^d\cos\frac{(k+1)2\pi}{d} = 0,$$ La construcción da así un círculo en cualquier dimensión.

Answer 4

$\cos3\theta=cos3(\theta)$

$\cos3(\theta-\frac{\pi}{3})=cos(3\theta-\pi)=-\cos3\theta$

Como $-y=-\cos(\theta-\frac{\pi}{3})=cos(\theta+\frac{2\pi}{3})$,

$\cos3(\theta+\frac{\pi}{3})=\cos(2\pi+3\theta)=\cos3\theta$

$\cos3(\theta-\frac{2\pi}{3})=cos(3\theta-2\pi)=\cos3\theta$

Ahora, $\cos3\theta=4cos^3\theta-3\cos\theta$

Si $\cos3\theta=a$ $\cos\theta=t$

Por eso, $x,-y,z$ son las raíces de $4t^3-3t-a=0$

$=>x+(-y)+z=0$

$=>x(-y)+(-y)z+zx=\frac{3}{4}$

$=>x^2+y^2+z^2=(x+(-y)+z)^2-2(x(-y)+(-y)z+zx)=0+2\frac{3}{4}$

$=>x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}$

Observar que $(x,y,z)$ satisfacer un plano general de la ecuación de $Ax+By+CZ+D=0$ donde $A,B,C,D$ constantes, no todos los ceros.

Además, satisface la ecuación general de la circunferencia en 3-D, $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=d^2$. $a=b=c=0, d^2=\frac{3}{2}$

En caso de $x,y,z,w$,

$z=\cos(\theta-\frac{2\pi}{4})=\sin\theta$, $\sqrt2 y=\cos\theta+\sin\theta$, $\sqrt2 w=-\cos\theta+\sin\theta$

Por eso,$x^2+z^2=1$ $w^2+y^2=1$

$x^2+y^2+z^2+w^2=2$

Ahora $\sqrt2 (y+w)=2\sin\theta=2z=>\sqrt 2z=y+w$

Del mismo modo, $y-w=\sqrt 2x$

Observar que $(x,y,z,w)$ cumple dos plano general de las ecuaciones $Ax+By+CZ+Dw=E$ donde $A,B,C,D,E$ constantes, no todos los ceros.

Además, satisface la ecuación general de la circunferencia en 4-D, $(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2+(w-d)^2=e^2$ . $a=b=c=d=0, e^2=2$

De nuevo, sabemos $\cos nx=$parte Real de la $(\cos x+i\sin x)^n=(\cos x)^n+^nC_2(\cos x)^{n-2}(\sin x)^2+^nC_4(\cos x)^{n-4}(\sin x)^4+...$

Observar no hay ningún término que contiene a $=(\cos x)^{n-1}$

Como $\cos n(2x-\frac{2r_i\pi}{n})=\cos(2nx-2r_i\pi)=\cos 2nx=C(say)$

Por eso, $\cos (2x-\frac{2r_i\pi}{n})=R_i$(por ejemplo), donde todos los $r_i$s son distintos enteros con $0 ≤r_i< n$ son las raíces de la ecuación

$2^{n-1}y^n+C_1y^{n-2}+...-C=0$

Por eso, $\sum R_i=0$ como el coeficiente de $y^{n-1}$ es 0.

Si $x_i=\cos (x-\frac{r_i\pi}{n})=>R_i=2(x_i)^2-1$

Por eso, $\sum (2(x_i)^2-1)=0 =>\sum (x_i)^2=\frac{n}{2}$

Esta es otra manera de generalización("La curva se encuentra en una esfera") ya alcanzado por Rahul Narain.

Answer 5

Es un círculo. Si usted mira a la distancia desde el origen

$$r = \sqrt{ \cos^2(\theta) + \cos^2(\theta+\frac{\pi}{3}) + \cos^2(\theta+\frac{2\pi}{3}) }$$

que se simplifica a $r = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Con el 4-dimensional caso de que la distancia se simplifica a $r=\sqrt{2}$.

Me pregunto cómo probar el caso general de

$$r^2 = \sum_{i=1}^N \left[ \cos^2\left( \theta + \frac{i-1}{N} \pi \right) \right] = \frac{N}{2}$$