Mapa homotópico no nulo de $S^3$ a $S^2 \vee S^2$

Question

Me piden que presente una función continua $\alpha \colon S^3 \rightarrow S^2 \vee S^2$ s.t. no es homotópica nula pero tomadas ambas proyecciones $pr \colon S^2 \vee S^2 \rightarrow S^2$ la composición $pr \circ \alpha$ es homotópico nulo.

Me han dado la pista para usar el hecho de que $S^2 \times S^2$ no es equivalente homotópico a $S^2 \vee S^2 \vee S^4$ (los anillos de cohomología no son isomorfos).

Cualquier ayuda o consejo es bien aceptado: gracias de antemano.

Answer 1

Considere el mapa adjunto $S^3 \to S^2 \vee S^2$ de la $4$ -en la estructura CW estándar de $S^2 \times S^2$ . Si esto es nullhmotopic, $S^2 \times S^2$ sería homotópico a $S^2 \vee S^2 \vee S^4$ como mapa de unión homotópica implica espacios homotópicos equivalentes.

Pero el cuadrado de la taza $\alpha \smile \alpha$ no es trivial en $H^*(S^2 \times S^2)$ donde $\alpha$ es generador de $H^2(S^2)$ mientras que es trivial en $H^*(S^2 \vee S^2 \vee S^4) \cong H^*(S^2) \times H^*(S^2) \times H^*(S^4)$ contradicción.

Answer 2

De la LES en grupos de homotopía para el par $(S^2 \times S^2, S^2 \vee S^2)$ tenemos una secuencia exacta $$\pi_4(S^2 \vee S^2) \to \pi_4(S^2 \times S^2) \to \pi_4(S^2 \times S^2, S^2 \vee S^2)\to \pi_3(S^2 \vee S^2) \to \pi_3(S^2 \times S^2)$$

Ya que tenemos $\pi_k(S^2 \times S^2)\cong \pi_k(S^2 ) \times \pi_k( S^2) \subset \pi_k(S^2 \vee S^2)$ los mapas $\pi_k(S^2 \vee S^2) \to \pi_k(S^2 \times S^2)$ son suryentes. De ello se desprende que $\pi_4(S^2 \times S^2)\to \pi_4(S^2 \times S^2, S^2 \vee S^2)$ es el mapa cero, lo que nos da una corta secuencia exacta $$0 \to \pi_4(S^2 \times S^2, S^2 \vee S^2)\to \pi_3(S^2 \vee S^2) \to \pi_3(S^2 \times S^2) \to 0.$$ Queremos un elemento $\alpha \in \pi_3(S^2 \vee S^2)$ tal que su composición con cada proyección $S^2 \vee S^2 \to S^2$ es nulo-homotópico. Estas proyecciones son un factor a través de $S^2 \times S^2$ Así que $\alpha$ se encuentra en el núcleo de la composición $\pi_3(S^2 \vee S^2) \to \pi_3(S^2 \times S^2) \overset{\sim}{\to} \pi_3(S^2) \times \pi_3(S^2)$ . Por lo tanto, basta con demostrar que $\pi_4(S^2 \times S^2, S^2 \vee S^2)$ no es trivial, ya que cualquier elemento no nulo en su imagen en $\pi_3(S^2 \vee S^2)$ trabajará para nosotros.

Aquí es donde entra la pista: Recordemos que $S^2 \times S^2$ tiene una estructura celular con una $0$ -célula, dos $2$ -células, y una $4$ -célula. El 3-esqueleto es simplemente $S^2 \vee S^2$ por lo que el límite de la celda 4 se mapea en $S^2 \vee S^2$ . Desde $S^2 \vee S^2 \vee S^4$ no es equivalente en homotopía a $S^2 \times S^2$ el mapa de unión de la 4 celda no es trivial, lo que nos da el elemento deseado de $\pi_3(S^2 \vee S^2)$ .