Para un conjunto compacto $K\subset \mathbb M_n(\mathbb R)$ los valores propios de las matrices en $K$ forman un conjunto acotado

Question

Dejemos que $K\subset \mathbb M_n(\mathbb R)$ sea un subconjunto compacto. Entonces tengo que demostrar que :

Todos los valores propios de los elementos de $K$ forman un conjunto acotado.

Mi trabajo: considera el mapa $K \to det K$ que es continua. El conjunto de imágenes es compacto en $\mathbb C$ y, por lo tanto, cerrado y acotado. Si $\lambda_i (i=1\ldots,n)$ son los valores propios, entonces $\det K=\prod \lambda_i$ está acotado, lo que a su vez da $\lambda_i$ limitado.

¿Es correcto mi enfoque? ¿Hay alguna forma mejor de hacerlo?

Answer 1

Puede considerar un mapa $K\to \|K\|_2$ , donde $\|\cdot\|_2$ es una norma espectral de la matriz. Este mapa es continuo (debería ser un ejercicio fácil), y tiene una gran propiedad - para cualquier valor propio $\lambda$ de $K$ tienes $|\lambda|\le \|K\|_2$ .

Answer 2

Dejemos que $||*||$ sea cualquier norma sobre $ \mathbb R^n$ y que $||*||_O$ la norma de la matriz inducida por $||*||$

Desde $K$ es compacto, $K$ está acotado. Por lo tanto, hay $c>0$ tal que

$||A||_O \le c$ para todos $A \in K$ .

Ahora dejemos que $A \in K$ y que $ \lambda$ sea un valor propio de $A$ . Luego está $x \in \mathbb R^n$ con $Ax= \lambda x$ y $||x||=1$ .

Obtenemos

$$| \lambda|=|| \lambda x||= ||Ax|| \le ||A||_O*||x||=||A||_O \le c.$$

Answer 3

Su enfoque no es correcto. De hecho, $\prod_i \lambda_i$ puede ser acotado sin $\max_i \lambda_i$ que está acotado. (¿Por qué?)

Una mejor manera de hacerlo es la siguiente: para cualquier $A \in \mathbb M_N(\mathbb R)$ cualquier valor propio $\lambda$ de $A$ está limitada por $$ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n |A_{i,j}|. $$

Edición: Es aún más fácil hacer esto cuando tomamos nuestro límite $K$ igual a $n$ veces la suma anterior. En ese caso, dejemos que $\lambda$ sea un valor propio del vector propio $x$ y que $x_i$ sea la mayor entrada de $x$ . Entonces, en particular $$ |\lambda| |x_i| = \left|\sum_{j=1}^n A_{i,j}x_j\right| \leq \sum_{j=1}^n |A_{i,j}||x_j| \leq \sum_{j=1}^n \frac Kn|x_i| = K|x_i|, $$ por lo que $|\lambda| \leq K$ .

Answer 4

Un enfoque fácil para mí:

Considere el mapa $f:K\to \Bbb C$ por $f(x)=\dfrac{x^TAx}{x^Tx}$ que es continua y, por tanto, acotada en $K$ .

$\text{Image} f=\{f(x):x\in K\}$ está acotado.

Ahora bien, si $\lambda $ es un valor propio de $A$ correspondiente al vector propio $v$ entonces $Av=\lambda v\implies f(v)=\lambda$ .

Por lo tanto, $\lambda \in \text{Image }f$ que está acotado