¿Están cerradas curvas simples con esa propiedad necesariamente círculos?

Question

Esta es una de las más interesantes de seguimiento a la pregunta Están cerradas curvas simples con esta propiedad necesariamente círculos?

Deje $\gamma:[0,1]\to \mathbb R^2 $ ser cerrada simple $C^1$ curva convexa y $\Gamma$ la región delimitada por $\gamma$. Deje $O$ ser el centro de masa de $\Gamma$.

Supongamos que cualquiera de las dos líneas perpendiculares que pasan por $O$ split $\gamma$ en cuatro regiones con áreas iguales.

Es $\gamma$ un círculo ?

De nuevo, yo diría que la respuesta es sí, pero estoy buscando a una rigurosa prueba.

Answer 1

Como comentaristas han señalado, cualquier curva suave con 4 ejes de simetría es un contraejemplo, como $\gamma = \{(x,y): x^4+y^4 = 1\}$.

De hecho, los 4 ejes de simetría significa que hay un punto de $C$ tal que la rotación por $90$ grados alrededor de $C$ mapas de $\Gamma$ a sí mismo. En consecuencia, la rotación de los mapas que el centro de masa de $O$ a sí mismo, lo que implica $O=C$.

Desde la rotación por $90$ grados alrededor de $O$ mapas de la unión de líneas sobre sí mismo, de las cuatro regiones en que se dividen $\Gamma$ se asignan a cada uno de los otros. Por lo tanto, tienen igual área.