Número de squarefree números y el problema de Basilea

Question

¿Que descubrió/probó que hay cerca de $$ \frac{x}{\zeta(2)} $$ squarefree números hasta $x$, o (aproximadamente) Cuándo fue esto primero conoce? Hoy creo que esto se considera 'obvio', pero no sé si ese fue siempre el caso.

¿Era conocido antes de que se resolvió el problema de Basilea (que demuestra que la suma es $\pi^2/6$)? ¿Tal vez era conocido en la forma $ x\cdot \prod_{n\ge2}\left(1+\frac{\mu(n)}{n^2}\right) $$?

Answer 1

Su muy recta hacia adelante usando la Ikehara - Teorema de Wiener (la materia que resuelve PNT). Definir $a_n=1 $ si $n$ es squarefree y $0$ otra manera, así $\sum \frac{a_n}{n^s} = \prod _{p} (1+\frac{1}{p^s})= \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}$, que tiene continuación analítica a $Re(s) \geq 1$ con poste simple en $1$ % resedue $\zeta(2)^{-1}$, bingo! ¡hecho!