Divisores de Cartier efectivas relativa

Question

Tengo dos definiciones diferentes de una relación eficaz divisor de Cartier. La primera es un poco anticuado y define la noción más analítica de los espacios, de la siguiente manera:

Definición 1:

Deje $X$ ser una suave curva proyectiva y $T$ una analítica del espacio. Una relación eficaz divisor de Cartier en $X$ $T$ es simplemente una efectiva divisor de Cartier en el producto $X\times T$ lo que no contienen ninguna fibra de la proyección de $ X\times T \to T $.

La segunda definición es más moderno (se puede encontrar por ejemplo en la Pila del proyecto), y define el concepto sobre esquemas:

Definición 2:

Deje $S$ ser un esquema y $X$, $T$ ser esquemas $S$. Una relación eficaz divisor de Cartier en $X\,/\,T$ es un cerrado subscheme $D\subset X$ junto con un plano de morfismos $f:D\to T$, de tal manera que el ideal de la gavilla $\mathcal{I}_D$ $D$ es invertible.

Ahora, me gustaría entender el relashionship entre las dos definiciones. Estoy más interesado en el moderno esquema de la teoría de la una y, en particular, me gustaría ver si $D$ como en la definición 2 puede ser pensado como un divisor en el fibred producto$X\times T$$S$.

Lo que hice hasta ahora es la siguiente: podemos escribir el pullback diagrama de definición de la fibrado producto y, utilizando la $f:D\to T$ y la inclusión $i:D\to X$ (¿cómo puedo ver el diagrama de desplazamientos?) tenemos la flecha discontinua.

Debo pensar en los guiones de morfismos como la inclusión de $D$ como codimension $1$ subscheme de $X\times T$ ?

Y, además, es posible mostrar que el resultado de divisor a $X\times T$ no contienen ninguna fibra de la proyección, como en la definición 1?

Answer 1

Tengo el boceto de una solución, pero, por favor, me ayudan a mejorar. $\newcommand{\O}{\mathcal{O}}$ $\newcommand{\I}{\mathcal{I}}$ $\newcommand{\SES}[3]{0\to #1 \to #2 \to #3 \to 0}$ $\DeclareMathOperator{\spec}{Spec}$

Vamos a hacer los siguientes supuestos:

1. Todo lo que es afín y tenemos anillos $\O_X$, $\O_T$ y $\O_D \subset \O_X$ tal que $$ X = \spec (\O_X), \quad T = \spec (\O_T), \quad D = \spec (\O_D) $$
2. Los morfismos $f:D\to T$ está destinado a ser un $S$-morfismos, por lo que la conmutatividad del diagrama anterior se sigue inmediatamente.

Observe que en esta configuración tenemos $\O_{X\times T} = \O_X \otimes_k \O_T$.

Ahora vamos a $F$ ser la fibra de un determinado $t\in T$, es decir, $\O_F=\O_X\otimes_k k(t)$ donde $K(t)$ es el residuo de campo de $T$ en el punto de $t$.

Tenemos una secuencia exacta de $\O_T$-módulos $$ \SES{\I_F}{\O_{X\times T}}{\O_F} $$ y la aplicación de la functor $\square \otimes_{\O_T} \O_D$ (que es exacto por la planitud de la hipótesis), llegamos a la exacta $$ \SES{\I_F \otimes_{\O_T} \O_D}{\O_{X\times_k T} \otimes_{\O_T} \O_D}{\O_F \otimes_{\O_T} \O_D}. $$ Ahora, debido a la identidad $$ \O_{X\times T} \otimes_{\O_T} \O_D = \O_X \otimes_k \O_T \otimes_{\O_T} \O_D = \O_X \otimes_k \O_D = \O_D $$ podemos reescribir la secuencia de arriba como $$ \SES{\I_{F\cap D}}{\O_D}{\O_F \otimes_{\O_T} \O_D}, $$ así que podemos ver que $\O_{F\cap D} = \O_F \otimes_{\O_T} \O_D$. Por lo tanto nos encontramos con $$ F\cap D = \spec(\O_F \otimes_{\O_T} \O_D) = F\times_T D \neq F\quad \implies \quad F \not\subset D, $$ es decir, no de la fibra de la proyección está contenida en $D$, como queríamos.